Gewinn maximieren: Kostenfunktion: K(x1;x2) = x1x2 +8x1^2 + 10x2^2 Verkaufspreis(funktion): 500x1+430x2

Question

Hallo habe eine Kostenfunktion:

K(x₁;x₂) = x₁x₂ +8x₁² + 10x₂²

 Verkaufspreis(funktion): 500x₁+430x₂

Wie viele Exemplare der beiden Produkte sichern einen maximalen Gewinn? Wie groß ist der maximale Gewinn?

 

Habe jetzt beide gleichgesetzt und somit erhalte ich:

G = x₁x₂ +8x₁² + 10x₂² -  (500x₁+430x₂)

Nach X₁= 1 + 16x - 500

Nach X₂= 1 + 20x - 430

und jetzt setzte ich die beiden 0. bekomme haber für X₁ = 31,3125 und X₂=21,55

aber laut lösung muss dass heißen x1= 30 und x2= 20?

 

wo der fehler?

Comments

Hi, Gewinn ist Erlös minus Kosten, nicht umgekehrt.

Answer 1

Ich nehme mal x und y statt x1 und x2

G(x, y) = (500·x + 430·y) - (x·y + 8·x^2 + 10·y^2)

G/dx = 500 - y - 16·x = 0
G/dy = 430 - x - 20·y = 0

Das LGS liefert die Lösung x = 30 ∧ y = 20

Deine Ableitungen waren verkehrt.

Comments

G/dx = 16·x + y - 500 = 0 diesen y haben Sie übernommen von der Hauptfunktion.
G/dy = x + 20·y - 430 = 0 und hier die x

verstehe aber nicht weshalb man die mitnehmt für die 1. Ableitung.

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@Elena1986
xy nach x abgeleitet ist y

xy nach y abgeleitet ist x

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Die Ableitung von a*x nach x ist doch a oder?

Die Ableitung von y*x nach x ist demnach y oder? Das y ist hier wie eine Konstante zu sehen.

Und Anonym hat recht. Gewinn ist Erlös minus Kosten.

Was hier jetzt bei der Stellenausrechnung allerdings egal ist, denn wo die Funktion sonst einen Hochpunkt hat hat sie jetzt einen TP. Besser ist aber es gleich richtig zu machen.

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Wenn du noch unsicher bei Ableitungen bist, kannst du bei Übungsaufgaben diese mit Wolframalpha kontrollieren.

Gerade bei Ableitungen und Integralen ist das oftmals hilfreich eine Kontrollmöglichkeit zu haben.