x^4+4x^3+6x^2+2x+1 irreduzibel in Z[t]

Question

ich soll zeigen, dass f=x^4+4x^3+6x^2+2x+1 irreduzibel in Z[t] ist.

Kann mir da jemand weiter helfen?

Answer 1

Jedenfalls hat f keine Nullstelle.
Denn für x≥0 ist das ja  offensichtlich, da f(x) dann immer ≥ 1.

Für negatives x ist jedenfalls
f(x) > x⁴+4x³+6x²+2x+1 + 2x   denn 2x ist ja jedenfalls < 0 .
     = x⁴+4x³+6x²+4x+1   = g(x) Und g hat bei x=-1 seinen absoluten
Tiefpunkt T( -1 ; 0 ) .
Also  g(x) ≥ 0 für alle x aus IR und damit  f(x) > g(x) ≥ 0
Also hat f keine Nullstellen.
Zerlegung wäre also nur in zwei quadratische Faktoren denkbar, etwa
f = ( x^2 + ax + b ) ( x^2 + cx + d )
 = x^4 + (a+c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad+bc)x + bd
Koeffizientenvergleich liefert also
a+c = 4             c = 4-a
ac + b + d=6
ad+bc=2
bd=1                  d=1/b

1 und 4 in 2 und 3 einsetzen

vielleicht gibt das nen Widerspruch.