Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Symmetrie des Funktionsgraphen und der des Ableitungsgraphen

Question

achsensymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur gerade Exponente haben.

punktsymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur ungerade Exponente haben.

Wenn jetzt eine funktion gerade ungerade und gerade Exponenten hat kann man durch f(-x) = -f(x) und f(-x) = f(x)  bestimmen obs punkt oder achensymmetrisch ist. Soweit richtig?

Nun meine Frage: Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Symmetrie des Funktionsgraphen und der des Ableitungsgraphen

Answer 1

Ja.

Ist der Graph einer Funktion punktsymmetrisch, so ist der Graph der Ableitungsfunktion achsensymmetrisch.

Ist der Graph einer Funktion achsensymmetrisch, so ist der Graph der Ableitungsfunktion punktsymmetrisch.

Schauen wir uns das mal an

f(- x) = f(x) --> Achsensymmetrie

Beide Seiten ableiten

- f'(- x) = f'(x)

f'(- x) = - f'(x) --> Punktsymmetrie

Probier das jetzt mal genau so, mit der Bedingung für die Punktsymmetrie.

Comments

Der letzte Teil ist vom Gast az0815 abgeschrieben.

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@Mister:

Das stand schon in der vergangenen  Nacht da.

Da hatte Gast az0815 noch gar nicht geantwortet :-)

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Nein, das stimmt nicht: Bis vor einer Stunde waren bei dieser Aufgabe nur die ersten beiden Absätze zu sehen.

Der Rest muss folglich nachträglich ergänzt worden sein, nämlich nachdem Gast az0815 seine sehr gute Antwort gegeben hat.

Aus diesem Grund würde ich den Daumen, den ich der Antwort von Der_Mathecoach gab, eigentlich auch gern zurücknehmen, denn Abschreiben ist kein gutes Verhalten.

Auch nicht besonders vorbildlich, @Der_Mathecoach.

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Das ich meine Antwort ergänzt habe stimmt. Das ich das abgeschrieben habe stimmt nicht.

Eigentlich wollte ich diesen Teil schon früher dazufügen.

Ich habe die Antwort von az0815 auch eben erst gelesen. Tut mir leid. Ich habe auch noch andere Dinge zu tun als mir hier alle Antworten durchzulesen.

Wer mich kennt weiß, dass ich hier noch nie irgendwas abgeschrieben habe und ich hatte auch nicht vor damit anzufangen.

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So genial ist die strittige Begründung wirklich nicht, dass jemand ausgerechnet dir nicht zutrauen sollte, dass sie dir  selbst eingefallen ist. :-)

Es ist vielmehr eine Standardbegründung für jeden Mathematiklehrer

Answer 2

Achsensymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur gerade Exponente haben.
Punktsymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur ungerade Exponente haben.

Diese Regel gilt nur für ganzrationale Funktionen in Polynomdarstellung und bezieht sich auch nur auf die Symmetrien zum Koordinatensystem.

Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Symmetrie des Funktionsgraphen und der des Ableitungsgraphen?

Ja, den gibt es. nehmen wir an, \(f\) sei achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, dann ist \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung und \(f''\) wieder symmetrisch zur \(y\)-Achse. Mithilfe der Kettenregel zeigt sich

$$ f(x) = f(-x) \\f'(x) = -f(-x) \\f''(x) = f(-x) = f(x). $$

Das gilt sinngemäß auch für die Symmetrie zum Ursprung.

Wenn jetzt eine Funktion (...) ungerade und gerade Exponenten hat, kann man durch f(-x) = -f(x) und f(-x) = f(x) bestimmen, ob sie punkt- oder achensymmetrisch ist. Soweit richtig?

Das ist nicht nötig, denn wenn die ganzrationale Funktion in ihrer Polynomdarstellung Potenzen mit geraden und ungeraden Exponenten aufweist, dann ist sie weder punkt- noch achsensymmetrisch (zum Koordinatensystem).

Comments

> Das ist nicht nötig, denn wenn die ganzrationale Funktion in ihrer Polynomdarstellung...

Es ist doch nötig, weil in der Frage eben keine Rede von Polynomfunktionen ist.

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Das ist richtig, mit der entsprechenden Einschränkung habe ich aber auch begonnen. Ich nehme an, der Fragesteller hatte dies auch eigentlich gemeint, aber nicht erwähnt.

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> Das ist nicht nötig, denn wenn die ganzrationale Funktion in ihrer Polynomdarstellung... 

Das wäre nur dann eine Einschränkung, wenn du "denn" weglässt. So ist es die Anwendung einer Voraussetzung, die nicht gegeben ist! 

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Kann es sein, dass bei den Ableitungen die Striche fehlen?

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@Mister: Eigentlich nicht, oder?

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Eigentlich schon, oder?

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Ich denke doch.

Oder welchen Sinn soll "f '(x) = - f(-x)" in diesem Zusammenhang machen?

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@-Wolfgang-: Welche anderen Funktionen als Polynomfunktionen sollten in dieser Aufgabe gemeint sein?

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Kann es sein, dass bei den Ableitungen die Striche fehlen?

@Mister: Welche Ableitungsstriche fehlen denn?

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Ok, Fehler gefunden, es mss so aussehen:

$$ f(x) = f(-x) \\f'(x) = -f'(-x) \\f''(x) = f''(-x). $$

Ich sollte mal was anderes machen...

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Auf den rechten Seiten der Gleichungen fehlen die Striche. Ohne die Striche gelten die Gleichungen nur für spezielle Funktionen.

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Ist dir gelungen (mal was anderes zu machen). War halt leider falsch :)

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Für f (x) = f(-x) →_Kettenregel  f ' (x) = - f ' (-x) , nicht f '(x) = - f(-x) wie du in deiner Antwort versehentlich geschrieben hast (f '' analog)

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Ja, du hast recht. Danke für den Hinweis!

Answer 3

Voraussetzung ist erst einmal, dass der (willkürlich wählbare!) Definitionsbereich der Funktion symmetrisch ist.

> achsensymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur gerade Exponenten von x  haben.

Das ist richtig.  Die Bedingung ist aber nur hinreichend, nicht notwendig. 

Z.B  ist f(x) = sin(x)/x auch achsensymmetrisch

 > punktsymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur ungerade Exponenten von x haben.

Das ist falsch:    f(x) = e^-x  ist nicht punktsymmetrisch

> Wenn jetzt eine Funktion ungerade und gerade Exponenten hat, kann man durch f(-x) = -f(x) und f(-x) = f(x)      bestimmen, ob sie punkt- oder achensymmetrisch ist. Soweit richtig?

Das ist richtig

> Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Symmetrie des Funktionsgraphen und der des    Ableitungsgraphen?

Die Symmetrie der Ableitungsfunktion ist immer "umgekehrt" wie die Symmetrie der Funktion

Gruß Wolfgang

Comments

punktsymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur ungerade Exponente haben.

Das ist falsch:    f(x) = e^-x  ist nicht punktsymmetrisch

Gemeint sind wahrscheinlich nur Polynome in 1d.

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Hallo Wolfgang, das ist ziemlich falsch.

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@Ziva:

Mag sein. Man kann die Behauptung aber trotzdem nicht so allgemein stehen lassen. Sonst glaubt sie noch jemand :-)

Für Polynomfunktionen mit symmetrischem Definitionsbereich sind die Aussagen natürlich wahr.

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Ich frage auch nicht jedes mal nach, in welchen Räumen die Funktionen leben ;-)

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@Gastaz0815:

Geht es etwas genauer?. Bin für  begründete berechtigte Fehlerhinweise immer dankbar.

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Falsch ist dies hier:

Zitat Anfang:

 > punktsymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur ungerade Exponenten von x haben.

Das ist falsch:    f(x) = e^-x  ist nicht punktsymmetrisch

Zitat Ende.

Was hat das angeführte Beispiel mit geraden oder ungeraden Exponenten von x zu tun?

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x hat im Term e^-x den ungeraden Exponenten 1

x ↦_ℝ  e^{-x²}   wäre z.B. achsensymmetrisch, weil nur gerade Exponenten vorkommen.

In der Frage ist eben keine Rede von Polynomfunktionen.

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Na ja, für jedes \(x\) gilt \(x=\left(x^1\right)\). Was willst du denn damit sagen?

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Ich hätte auch  x ↦ e^{x^3} nehmen können. Aber damit wärst du auch nicht zufrieden, weil du dich einach auf Polynomfunktionen versteifst, von denen aber in der Frage einfach keine Rede ist.

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@Gastaz0815:

> Hallo Wolfgang, das ist ziemlich falsch. 

Ich warte eigentlich immer noch auf eine Begründung! Oder möchtest du das eventuell doch zurücknehmen?

[ x¹ ist keine Potenz von x  kann es ja wohl nicht gewesen sein ]

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Ist der Definitionsbereich der Funktion willkürlich wählbar?

Wie sieht die Potenzreihendarstellung von \( \frac{\sin(x)}{x} \) aus?

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mit "willkürlich wählbar" sollte lediglich klargestellt werden, dass die Symmetrie nicht nur vom Funktionsterm sondern auch vom definitionsbereich abhängt, der eine beliebige Teilmenge von D_max sein kann, die nicht symmetrisch um 0 verteilt ist.

Diese Formulierung wäre zugegebenermaßen richtiger gewesen. "Willkürlich" ist unpassend.

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Wolfgang, wenn deine Beispiele zeigen sollen, dass die in der Frage erwähnte "Exponentenregel für Symmetrieeigenschaften" nicht für beliebige Funktionen gelten, dann geht das vermutlich so. Allerdings ist mit dieser Argumentation dann der Satz

Zitat Anfang:

> achsensymmetrisch sind alle Graphen, deren Funktion nur gerade Exponenten von x  haben.

Das ist richtig.  Die Bedingung ist aber nur hinreichend, nicht notwendig. 

Z.B  ist f(x) = sin(x)/x auch achsensymmetrisch

Zitat Ende.

nicht richtig. Betrachte etwa \(f(x) = x^6 : x^2\).

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Ich verstehe wirklich nicht, was du mir mit diesem Beispiel sagen willst!?

Deine angegebene Funktion ist achsensymmetrisch und hat nur gerade Exponenten von x ??

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Das Beispiel entspricht in etwa deiner Argumentation, der Funktionsterm enthält nur gerade Exponenten, die Funktion ist aber nicht symmetrisch zur y-Achse. Die Bedingung "nur gerade Exponenten von x" ist also nicht hinreichend.

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Wieso ist die Funktion  f: D_max → ℝ ; x ↦ x⁶ / x² nicht achsensymmetrisch?

f(-x) = f(x) für alle x∈D_max

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Entschuldige bitte das Beispiel, ich habe mich verrechnet.

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Kein Problem. Vielleicht sollten wir die Diskussion hier einfach beenden und uns den Fragestellern zuwenden :-)

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Was ist mir der Funktion

\( f(x) = \begin{cases} x^2 \text{ für } x < 0 \\ x^4 \text{ für } x \geq 0 \end{cases} \)?

Diese Funktion enthält nur gerade Exponenten, ist aber nicht achsensymmetrisch.

Könnte es also sein, dass die Aufgabe nur für Polynomfunktionen gemeint sein kann?