Geometrische Folgen und Reihen: Steigerung der Produktion um das 1,8 Fache pro Jahr

Question

Ein Betrieb stellt im Jahr 2007 150000 Einheiten her. Die Produktion stieg pro Jahr um das 1,8 Fache. Wie viel Einheiten sind am Ende des Jahres 2023 fertiggestellt?

Kann es mir natürlich mühsam ausrechnen, aber irgendwie komme ich gerade nicht auf die Folge. Hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Ein Betrieb stellt im Jahr 2007 150000 Einheiten her. Die Produktion stieg pro Jahr um das 1,8 Fache. Wie viel Einheiten sind am Ende des Jahres 2023 fertiggestellt ?

Mir ist immer etwas unklar was mit um das 1,8 fache gemeint ist. Das wird auch immer anders gebraucht. Ich schreibe daher mal beide Möglichkeiten auf.

f1(x) = 150000 * 1.8^x
f2(x) = 150000 * (1 + 1.8)^x = 150000 * 2.8^x

Von 2007 bis 2023 sind es 16 Jahre also

f1(16) = 150000 * 1.8^16 = 1821592966
f2(16) = 150000 * 2.8^16 = 2141015249000

Comments

Wenn man sprachlich genau ist müsste eigentlich f2 korrekt sein.

Aber um das x fache wird auch häufig sprachlich gebraucht wie auf das x fache.

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Die erste Lösung hatte ich auch, nur das schien mir etwas zu einfach. Konnte mir jetzt die Lösung organisieren. Darin heisst es das Ergebnis lautet 4098396675 mit der Folge  150000*(1+1.8^1+1,8^2+...+1,8^16)

Nur weiss ich leider nicht, wie ich auf dieses Folge komme.

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Oh. Dann sind gemeint viele Einheiten wurden in den Jahren 2007 bis 2023 fertiggestellt. Wenn man es wie ich rechnet dann sind es nur die Einheiten die 2023 produziert worden sind.

Also muss man rechnen

f(0) = 150000 * 1.8^0
f(1) = 150000 * 1.8^1
f(2) = 150000 * 1.8^2
...
f(16) = 150000 * 1.8^16

Und jetzt sind die alle Aufaddieren.

150000 * 1.8^0 + 150000 * 1.8^1 + 150000 * 1.8^2 + ... + 150000 * 1.8^16
= 150000 * (1.8^0 + 1.8^1 + 1.8^2 + ... + 1.8^16)
= 150000 * 27322.64449 = 4098396673

Answer 2

Ergänzung zur Diskussion bei der andern Antwort:

(1+1.8^1+1,8^2+...+1,8^16)

ist eine Teilsumme s_n einer geometrischen Reihe. 
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Du brauchst die Teilsumme s₁₆ für n=16. q=1.8 und a_o=1

(1+1.8^1+1,8^2+...+1,8^16) = 1*(1.8^17 - 1)/(1.8 - 1) = (1.8^17 - 1)/0.8 = 27322.6

150000*27322.6= 4.0984*10^9

Also 4.0984 Milliarden.