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Ich muss die schursche normalform einer matrix bestimmen, jedoch war ich letzte Woche krank und weiß daher nicht wie man das macht. Habe bis jetzt den eigenwert der matrix herausgefunden

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Hier ist der Algorithmus beschrieben und auch ein Beispiel. Wenn Du Probleme bei einem speziellen Beispiel hast, poste es doch.

https://de.wikipedia.org/wiki/Schur-Zerlegung

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Also ich habe diese Aufgabe. Was muss ich jetzt alles machen? Also Eigenwerte und eigenvektoren.  Und dann?Bild Mathematik

Also die Eigenwerte sind 1 und 4. Der Eigenvektor zum Eigenwert 4 ist \( \begin{pmatrix} 4\\1\\0 \end{pmatrix} \)
Vektoren die zu diesem Eigenvektor linear unabhängig sind sind z.B. \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\) und \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\)
Also sieht die Matrix \( V_1 \) folgendermaßen aus $$ V_1 = \begin{pmatrix}  4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}  $$ Es gilt
$$ V_1^{-1} A V_1 = \begin{pmatrix}  4 & \frac{1}{4} & -\frac{7}{4} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$
Damit hat man schon die obere Dreiecksmatrix konstruiert

Ich habe noch eine bisschen blöde frage aber wie bist du auf den eigenvektoren zum eigenwert 4 gekommen?

Du bekommst die Gleichungen

$$ (1) \quad 5x - 4y - 3z = 4x $$

$$ (2) \quad x - \frac{3}{4}z = 4y  $$

$$  (3) \quad z = 4z $$

Aus (3) folgt \( z = 0\) und damit aus (2) \( x = 4y \)

Wähle \( y = 1 \) dann folgt \( x = 4 \)

Ist mit der Dreiecksmatrix die Schursche Normalform schon bestimmt oder folgen noch weitere Schritte?

Und warum kann man hier auf eine Orthonormalbasis verzichten?

Die Schur Zerlegung ist hier beschrieben https://de.wikipedia.org/wiki/Schur-Zerlegung und da ist auch beschrieben das keine Orthonormalbasis gefordert ist.

Danke. Noch eine Frage: Wenn ich eine 3x3 Matrix habe, bei der alle 3 EWe gleich sind, kann ich dann dreimal denselben EV in V1 schreiben und wie oben vorgehen?


Konkret geht es um die Matrix

-2  -6   0

 -2  -4  -4

  1   4   0

Mit dem dreifachen Eigenwert -2

Wie mache ich das dann hier?


$$B= \begin{pmatrix}  -2& 3 & 3 \\ 0 & -2 &-2 \\ 0 & 0& -2\end{pmatrix}$$


Ich habe fürdie EIgenwerte $$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3 = -2$$

Jetzt muss ich (laut Wikipedia) einen EIgenwert finden (hier

 $$\begin{pmatrix}  -2 \\ 0 \\1  \end{pmatrix} $$

 und dann eine Basis dazu bauen

$$V_1 =\begin{pmatrix}  -2&1&0\\ 0&0&1 \\1&0&0  \end{pmatrix} $$

Mit $$V_1^{-1} \cdot B \cdot V_1$$ findet man dann$$ \left(\begin{matrix}  -2&1&4\\ 0&0&2 \\0&-2&-4  \end{matrix}\right) $$ da soll man durch die linke unter Matrix betrachten$$ \left(\begin{matrix}  0&2\\ -2&-4  \end{matrix}\right) $$ und dazu dann $$V_2$$ so wie $$V_1$$  bauen. hier: $$V_2 = \left(\begin{matrix}  -2 &0&0\\ 0&1&1 \\16-1&0  \end{matrix}\right) $$ nur wenn ich das und $$V_1^{-^1}$$ auf B anwende bekomme ich immer

$$\left(\begin{matrix}  -2&3&3\\ 0&-1 &-1 \\0&1&-3  \end{matrix}\right)  $$ heraus, was eben nicht der Schurschen Normalform mit den EW auf der Diagonalen entspricht. Habe ich irgendwo einen Denkfehler oder habe ich einen Schritt vergessen?

Hi,

erstens ist B schon eine obere Dreiecksmatrix, da brauchst Du also nichts mehr zu machen und der Eigenvektor zum Eigenwert -2 stimmt auch nicht, wie man durch nachrechnen kontrollieren kann.

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