Welche Werte aus den reellen Zahlen lösen die Ungleichungen? a) -|x+3|-7>-8 b) -3(|x|+2) >-6

Question

Welche Werte aus den reellen Zahlen losen die folgenden Ungleichungen?
a) -|x+3|-7>-8
b) -3(|x|+2) >-6

Meine Antworten:

a) Fall 1:

x+3>0

x>-3

-x+3-7>-8

-x>-4 |/-1

x<4

Fall2:

x+3<0

x<-3

-|-x-3| -7>-8

x-3-7>-8

x>2

L= {x| -3<x<4}

b) Fall1:

x>0

-3(x+2)>-6

-3x-6>-6

-3x>0

x<0

Fall2=

x<0

-3(-x+2)>-6

3x-6>-6

3x>0

x>0

L={0}

sind meine Atnworten richtig?

Answer 1

a) -|x+3|-7>-8

Dies kann man zunächst einmal gefahrlos umformen

 -|x+3|>-1und dann |x+3|<1

Fall 1 ergibt dann x<-2 und

Fall 2 ergibt x>-4. Insgesamt gilt -4<x<-2.

b) -3(|x|+2) >-6 würde ich erst einmalumformen zu

b) |x|+2 <2

und dann |x| < 0. das ergibt die leere Menge.

EDIT(Lu): Zeilenumbrüche eingefügt.

Comments

Hallo Roland,
so ganz einverstanden bin ich mit deiner Lösung nicht
bzw. es müßte noch genauer formuliert werden

| x+3 |<1 Fall 1 ergibt dann x<-2 und Fall 2 ergibt x>-4. Insgesamt gilt -4<x<-2.

1.Fall
Der Term in den Betragsstrichen ist positiv oder 0
x + 3 ≥ 0
x ≥ -3
dafür gilt
x + 3 ≤ 1
x ≤ -2
Zusammen
( x ≥ -3 ) und ( x < -2 )
-3 ≤ x < -2

2.Fall
Der Term in den Betragsstrichen ist negativ
x + 3 < 0
x < -3
dafür gilt
( x + 3 ) * (-1 ) < 1
-x - 3 < 1
x > -4
Zusammen
( x < -3 ) und ( x > -4 )
-4 < x < -3

Beide Fälle
-4 < x < -2

Etwas abstrakter formuliert :
Das Ergebnis eines Falls muß auch die jeweilige Eingangsvorausetzung
beinhalten.

mfg Georg

Answer 2

a.)

In den Bereichen der Zeichnung, in denen der Graph oberhalb der x-Achse liegt, ist die Ungleichung wahr, also:

Die Ungleichung ist nur für   -4<x<-2 erfüllt.

 ~plot~ -abs(x+3)+1; ~plot~

b.)

Hier ebenso:

~plot~ -3*abs(x) ~plot~

Du siehst, dass für kein x die Ungleichung erfüllt ist, da der Graph die x-Achse nicht überschreitet

Answer 3

Statt über langwierige Fallunterscheidungen oder
grafische Visualisierungen zur Lösung zu gelangen,
kann man auch versuchen, den Betrag aufzulösen:

zu a):$$-\left|x+3\right|-7>-8 \\\Leftrightarrow \left|x+3\right| < 1 \\\Leftrightarrow -1 < x+3 < 1 \\\Leftrightarrow -4 < x < -2. $$

zu b):$$-3(\left|x\right|+2) > -6 \\\Leftrightarrow \left|x\right|+2 < 2 \\\Leftrightarrow \left|x\right| < 0 \\\Leftrightarrow 0 < x < 0.$$Diese Aussageform ist immer falsch, es gibt also keine Lösungen.