f (x)=1/9 x^5 - 20/27 x^4 + 10/9 x^3 Gipfel und Tal berechnen

Question

Den einen oder anderen kommt die Aufgabe schon bekannt vor:b). f (x)=1/9x⁵ - 20/27 x⁴ + 10/9x³

Ich habe jetzt die erste Ableitung gebildet f'(x) = 5/9 x⁴ - 80/27 x³ + 30/9x²
und ausgeklammert: x² (5/9x² - 80/27x+10/3)leider antwortet mir keine mehr, wie ich jetzt fortsetzen soll - deshalb hoffe ich, dass mir jetzt jemand bitte bitte bitte weiter helfen kann! Ich  brauche das nämlich ganz und komme so leider nicht weiter

Answer 1

Hallo Sonnenschein,

f (x)=1/9x⁵ - 20/27 x⁴ + 10/9x³

f '(x) = 5/9 x⁴ - 80/27 x³ + 10/3 x²  

f '(x) = 0  ⇔ x² • (5/9 x² - 80/27 x+ 10/3) = 0

 x₁=0  doppelt → Sattelpunkt

 x = 1.612574113  mit Vorzeichenwechsel  + → -  (Gipfel)

 x = 3.720759220  mit VZW  - → + (Tal)

f(1,61) ≈ 0.8619061792  → Gipfelpunkt ≈ (1,91 | 0,86)

f(3,72) ≈ -5,5                  → Talpunkt ≈ (3,72|-5,5)

Gruß Wolfgang

Comments

Super, super, super!! Vielen lieben Dank, genau auf eine solche Antwort habe ich gewartet! Ich zeichne die gleich aus als beste

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Ich hab nur eine kleine Frage:

wie kommst du auf das diese x (x = 1.612574113  und x = 3.720759220  ) ?

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Satz vom Nullprodukt anwenden und die Klammer

5/9 x² - 80/27 x³+ 10/3 = 0

setzen und ausrechnen. Entweder abc-Formel oder durch 5/9 teilen und dann pq-Formel.

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Wahrscheinlich gebe ich das falsch in den Taschenrechner ein:

ich habe nämlich durch 5/9 geteilt und dann kam das hier raus:x²-16/3x+6=0 nun habe ich die p-q Formel angewendet : −(-16/3:2)±√(-16/3:2)²-6

Answer 2

" leider antwortet mir keine mehr, wie ich jetzt fortsetzen soll - "

Löse die quadratische Gleichung

 (5/9x² - 80/27x+10/3)= 0

Bitte keine Fragen doppelt stellen. 

Zur Erinnerung eine Formel zum Lösen von quadratischen Gleichungen: 

https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung

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Ich weiß ...aber langsam verzweifle ich echt - wenn man schon so lange an einer Aufgabe sitzt und nicht weiter kommt :(

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Habe die nötige Formel ergänzt.

Schau sonst genauer noch bei Mathecoach und sage all jenen, bei denen du nachgefragt hast, dass die Frage geklärt ist. Du brauchst das ja nicht mehrfach.

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Ok, danke für deine Mühe :) Mit der abc Formel kenne ich mich gar nicht aus, ist mir in meiner Schullaufbahn noch nie begegnet! Nur die p-q Formel

Answer 3

f(x) = 1/9·x^5 - 20/27·x^4 + 10/9·x^3

f'(x) = 5/9·x^4 - 80/27·x^3 + 10/3·x^2 = 0

5/27·x^2·(3·x^2 - 16·x + 18) = 0

x = 0 --> doppelte Nullstelle und damit ein Sattelpunkt und kein Hoch oder Tiefpunkt

3·x^2 - 16·x + 18 = 0

x = 8/3 ± √10/3

x = 1.612574113 ∨ x = 3.720759220 --> einfache Nullstellen und damit ein Hoch- und ein Tiefpunkt.

Nun solltest du noch die y-Koordinaten bestimmen und du kannst auch noch die hinreichende Bedingung prüfen.

Kommst du dann klar?

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Ich versuche es auf jeden Fall mal , eine Frage stellt sich jedoch:wie kommst du auf  x=8/3 plus minus die wurzel aus 10/3?

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3·x² - 16·x + 18 = 0 

Teil mal durch 3 und wende deine pq-Formel an.

Und wenn du nicht auf meine Lösung kommst, dann melde dich einfach noch mal.

Answer 4

f'(x) = 5/9 x⁴ - 80/27 x³ + 30/9x²
und ausgeklammert:
x² (5/9x² - 80/27x+10/3)
Stelle mit waagerechter Tangente
x^2 * ( 5/9 * x^2 - 80 / 27 * x + 10 / 3 ) = 0
Satz vom Nullprodukt :
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
x^2 = 0
x = 0
und
5/9 * x^2 - 80 / 27 * x + 10 / 3 = 0
x = 1.61
und
x = 3.72

( 0 | 0 )
( 1.61 | 0.86 )
( 3.72 | -5.50 )

2.Ableitung
f ´´ ( x ) = -20/9*x^3 - 240/27 * x^2 + 60/9 * x

( 0 | 0 )
( 1.61 | 0.86 ) f ´´ ( 1.61 ) = -3.03  Hochpunkt
( 3.72 | -5.50 ) f ´´ ( 3.72 ) = 16.19  Tiefpunkt

~plot~ 1/9*x^5 - 20/27 * x^4 + 10/9 * x^3 ~plot~

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Pech für mich. Da war Wolfgang etwas schneller.

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Trotzdem vielen Dank -du bist auch immer eine sehr große Hilfe!

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Ich komme mit meinem Taschenrechner immer auf andere Nullstellen wenn ich die p-q Formel anwende,

5/9 * x² - 80 / 27 * x + 10 / 3 = 0 Ι: 5/9x²-16/3x+6=0−(-16/3:2)±√(-16/3:2)²-6Ist das falsch?

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Du musst durch den Koeffizienten vor dem x^2 teilen. Also vorher alles durch 5/9 teilen !

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Das habe ich ja x²-16/3x+6=0

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x^2 - 16/3·x + 6

x = 8/3 ± √(64/9 - 6)

Was bekommst du da raus

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Ich habsanscheinend war meine Taschenrechnereingabe falsch