Wie beweise ich, dass f(x) = x^2 nicht injektiv ist?

Question

Aufgabe: Geben Sie an, ob die Funktion injektiv und surjektiv ist !
a)  f(x) = x²                D_f = ℝ
Wäre nett, falls sich jemand noch die Zeit nehmen könnte die b) zu erklären.
b) f(x) = x³                 D_f = ℝ
PS: Ich weiß, was injektiv, surjektiv und bijektiv ist und kenne auch die Definition.Was ich nicht weiß ist, wie ich das jetzt hier schreiben soll. bzw. beweisen.

Answer 1

Um zu zeigen, dass etwas nicht gilt, genügt ein einziges Gegenbeispiel zu der Annahme, dass es gilt.

Comments

Wie würde dieser bei dieser Funktion lauten?

Answer 2

Bei a) genügt jeweils EIN Gegenbeispiel zur Definition. 

a)  f(x) = x²                D_f = ℝ 

f(2) =4 = f(-2) 

==> f ist nicht injektiv.

EDIT: Ich gehe aus von W_f = D_f = R für mein Gegenbeispiel.

Suche x∈ R so, dass f(x) = -4. 

x^2 = -4  ist in R nicht lösbar. ==> f ist nicht surjektiv. 

Comments

Ohne Festlegung einer Zielmenge ist der Begriff "surjektiv" sinnlos!

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Stimmt. Danke.

Ich bin von W_(f) = D_(f) = R ausgegangen für mein Gegenbeispiel. Habe das nun oben ergänzt.

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Ich weiß, der Mangel liegt in der Frage, vielleicht ist sie unvollständig übermittelt.

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Wenn wir:

"Geben Sie an, ob die Funktion "injektiv und surjektiv" ist ! "

beantworten sollen, genügt es eigentlich für ein "nein", dass wir zeigen konnten, dass f nicht injektiv ist. 

Aber man weiss nicht, was genau gefragt wurde. Die Überschrift und der Satz mit dem Fragezeichen, fragen nach etwas anderem. 

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Na ja, "Geben Sie an" bedeutet eigentich, dass es nichts zu beweisen gibt, sondern nur "anzugeben". Insofern würde schon ein "nein" ohne jeden Nachweis genügen. Solche Fragen gibt es manchmal bei Ankreuzprüfungen.

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Um es noch einmal klarzustellen, ich habe die Antwort (Anhang), jedoch verstehe ich nicht genau was da passiert.

kann mir das jemand in nicht so sehr mathematischer Sprache erläutern?

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Wäre nett, falls sich jemand noch die Zeit nehmen könnte die b) zu erklären. 
b) f(x) = x³                 D_f = ℝ 

Dann sagen wir mal. f(x) = x^3 ist "injektiv und surjektiv", wenn W_(f) = D_(f) = R gilt. 

EDIT: Hatte den neuen Post von Horizon noch nicht gesehen. 

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Also gut, eine Sache noch bitte:

gibt es also keine Rechnung für so etwas? Basiert das alles auf Begründungen durch Definitionen? :)

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Mehr als. was ich vorgerechnet habe, würde ich bei a) nicht machen.

Wenn du eine Funktion auf "Injektivität" prüfen musst, musst du immer exakt auf die Definition von "Injektivität" zurückgreifen.

Du kannst dir "injektiv" und "surjektiv" natürlich bildlich vorstellen. Aber argumentieren musst du mit dem was dasteht (oder fehlt).

Eine auf ganz R  definierte stetige Funktion ist z.B. injektiv, wenn sie immer steigt oder immer fällt.

Das würde bei b) also passen.

"injektiv und surjektiv" heisst ja "bijektiv". Wenn du problemlos eine Umkehrfunktion (umgekehrte Zuordnungsvorschrift) angeben kannst, ist die Funktion "injektiv und surjektiv".

f(x)= x^3 mit D_(f) = W_(f) = R

y = x^3

Umkehrfunktion bestimmen:

x = y^3 nach y auflösen.

y = ³√(x) ,falls x ≥ 0

und

y= -^3√(-x), falls x<0.

Also: Immer noch für D_(f) = W_(f) = R

f^{-1}(x) = ³√(x) ,falls x ≥ 0

und

f^{-1}(x) = -^3√(-x), falls x<0.

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Wieso jedoch, ist bei der a), wenn Z_f = ℝ₀⁺ ist, f(x) surjektiv? Trifft f(x) = x² tatsächlich alle positiven Reellen Elemente?

Das wärs dann auch, danke!

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Ja. Wenn a > 0 gegeben ist, kannst du a = x^2 nach x auflösen.  (Wurzel ziehen)

±√a  = x.

a wird somit sogar zwei Elementen des Definitionsbereichs zugeordnet.