16 Teilnehmer, daraus 8 Paarungen: Anzahl der verschiedenen Zusammenstellungen der Paarungen

Question

16 Teilnehmer haben sich für die Weltmeisterschaft qualifiziert. In der ersten Tournierphase werden aus den 16 Teilnehmern 8 Paarungen zufällig zusammengestellt, die dann gegeneinander antreten müssen.

Gesucht: Anzahl der verschiedenen Zusammenstellungen der Paarungen

Lösung: 16!=(8! * 2⁸) = 2.027.000

Warum nicht nur Binomialkoeffizient mit 16 über 2 = 120?

Vielen Dank für die Hilfe.

Comments

16!=(8! * 2⁸) = 2.027.000 An dieser Doppelgleichung stimmt gar nichts. 16! = 20922789888000 und 8!·2⁸ = 10321920

Answer 1

> Warum nicht nur Binomialkoeffizient mit 16 über 2

Das ist die Amzahl der zweielementigen Teilmengen aus dem Teilnehmerfeld. Darin ist sowohl die Paarung Boris Becker gegen Ivan Lendl drin, als auch die Paarung Ivan Lendl gegen John McEnroe.

Answer 2

Warum nicht nur Binomialkoeffizient mit 16 über 2 = 120? Antwort: Das kannst du dir an kleineren Zahlen verdeutlichen, zB. an vier Mannschaften und zwei Paarungen. Da gibt es ja auch nur 3 mögliche Spielpläne und nicht 4 über 2.

Wenn du eunen Spileplan aufstellst, hast du zunächst einmal 16 leere Plätze, die mit Mannschaftsnamen zu füllen sind. Für den ersten Platz gibt es noch 16 Möglichkeiten. Zu jeder dieser 16 Möglichkeiten gibt es 15 Möglichkeiten den zweiten Platz zu füllen. Zu jeder dieser 16·15= 240 Möglichkeiten gibt es 14 Möglchkeiten den dritten Platz zu füllen. Und so geht das weiter, bis für den letzten Platz nur noch eine Mannschaft übrig bleibt.

Comments

in den so erhaltenen 16! Spielplänen sind je acht Spiele aufgeführt. Dabei entstehen alle acht Spiele in in immer wieder neuen Reihenfolgen. Also muss man noch durch 8! teilen. Außerdem sind Spiele, in denen zwei Mannschaften in unterschiedlichen Reihenfolge stehen, identisch. Also muss man zusätzlich noch durch 2⁸ teilen. 16!/(8!·2⁸) = 2027025 .