Werte von Reihen berechnen: Σ ( (-1)^n (4^{n-1} + 2)/5^n )

Question

Σ ( (-1)^n (4^{n-1} + 2)/5^n )

Ich komme bei folgenden Reihen nicht weiter. Könnt ihr mir ein paar Tipps geben?

Man muss den Wert bestimmen.

Answer 1

Bei b) kannst du den Bruch so umformen, dass sich eine Summe von 2 geometrischen Reihen konstruieren lässt.

Σ ( (-1)ⁿ (4^n-1 + 2)/5ⁿ ) 

= Σ ( (-1)ⁿ (4^n-1)/5ⁿ ) + Σ ( (-1)ⁿ ( 2)/5ⁿ ) 

=  1/4 * Σ ( (-1)ⁿ (4ⁿ/5ⁿ ) + 2* Σ ( (-1)ⁿ ( 1/5ⁿ ) 

=  1/4 * Σ (-4/5)^n  + 2* Σ  (-1/5)^n  

So weit nachrechnen und korrigieren.  

Dann die Formel für geometrische Reihen benutzen.

Bei c) benutzt du vielleicht mal die Suche. Stichworte: Fakultät, Reihe , Summenzeichen, Bruch

Answer 2

b)  summe n=1 bis unendl.     (-1)^n * 4 ^n-1 / 5^n  +  (-1)^n * 2 / 5^n

=summe n=1 bis unendl.    0,25* (-1)^n * 4 ⁿ / 5^n  +  (-1)^n * 2 / 5^n

= summe n=1 bis unendl.    0,25* (-1)^n * 4 ⁿ / 5^n 

        + summe n=1 bis unendl.    (-1)^n * 2 / 5^n

= 0,25 *summe n=1 bis unendl.     (-4) ⁿ / 5^n 

        + 2*  summe n=1 bis unendl.    (-1)^n  / 5^n

= 0,25 *summe n=1 bis unendl.     (-4/5) ⁿ

        + 2*  summe n=1 bis unendl.    (-1  / 5)  ^n

Formel geo. Reihe
= 0,25 *  1 / ( 1 + 4/5 )   + 2 * 1 /  ( 1 + 1/5 ) = 65/36

Comments

Hast du beachtet, dass die Summen bei n=1 beginnt?

Mein Vorschlag:

 0,25  *(-4/5) * 1 / ( 1 + 4/5 )   + 2 *(-1/5) * 1 /  ( 1 + 1/5 ) 

Answer 3

zu c)

zuerst den Faktor 6 aus Summe raus (für später)

Achtung: da bei n=1 beginnt, hat man mit (-1)! eine undefinierte Polstelle!

Deshalb erst Betrachtung mit n=2 beginnend:

1/((n^2-n)*(n-2)!) = 1/n! 

bekannte https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe, jedoch statt bei 0 mit 2 beginnend:

-2 + Summe 1/n! = exp(1)-2 = e-2

Hier kann man von "hebbare Polstelle" sprechen http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/definitionsluecke-hebbar-pole-nullstellen.html und

https://de.wikipedia.org/wiki/Definitionsl%C3%BCcke

, also

die bekannte Potenzreihe ohne den ersten Summanden: e-1

nun noch den Faktor 6 dazu...