3 ebenen schnittpunkt und bedingung für nicht schnitt

Question

hi. habe hier 3 ebenen gegeben und sollte den schnittpunkt berechnen. die ebenen sind in parameterform gegeben. den schnittpunkt habe ich ausgerechnet indem ich ein gleichungssystem mit den ebenen in koordinatenform aufgestellt habe. nur die nächste teilaufgabe macht mir probleme

b) welche bedingung muss ebene 3 erfüllen damit es keinen gemeinsamen schnittpunkt gibt

meine idee:  das gleichungssystem darf keine lösung haben damit es keinen schnittpunkt gibt also muss ich was mit der ebene 3 anstellen ? aber was ?

Answer 1

b) welche bedingung muss ebene 3 erfüllen damit es keinen gemeinsamen schnittpunkt gibt

Ebene 1 und 2 haben vielleicht eine Schnittgerade

Dann müsste Ebene 3 parallel zu dieser Schnittgeraden liegen.

Was war genau die Aufgabe von a) ? Den Schnittpunkt aller 3 Ebenen zu berechnen? Oder nur die Schnittmenge von Ebene 1 und 2 ?

Comments

hey die a) lautet: die 3 ebenen wurden so gewählt dass sie genau einen gemeinsamen schnittpunkt haben. bestimmen sie den schnittpunkt

e1: -x+2y-z=0

e2: -3x+6y-5z=-2

e3: -3x+8y-7z=-2

als schnittpunkt habe ich 1;1;1 heraus

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Zunächst mal ist (1, 1, 1) als Schnittpunkt richtig. Das ist super.

Damit haben Ebene 1 und 2 eine Schnittgerade

-x + 2·y - z = 0
- 3·x + 6·y - 5·z = -2

II - 3 * I

- 2·z = -2 --> z = 1

Ebene 1 und 2 Schneiden sich für z = 1. 

Sehr einfach wäre es also wenn die Ebene 3 einfach die Form z = c mit c ≠ 3 hätte. Dann gibt es garantiert keinen Schnittpunkt

Ich weiß aber nicht genau ob du überhaupt eine Ebene 3 Angeben mußt. Eigentlich wird ja nur die Bedingung gefragt. Und das hast du gesagt, dass das Gleichungssystem dann keine Lösung haben darf und auf einen Widerspruch führen muss.

Ich glaube mehr ist nicht verlangt. Letztendlich gibt es unendlich viele Ebenen, die zu keinem Schnittpunkt führen. Immer dann wenn die Ebene parallel zur Schnittgeraden von E1 und E2 ist.

Answer 2

Zunächst mal haben Ebenen keinen Schnittpunkt,sondern eine Schnittgerade, was du sicherlich meinst.

Damit es keine Schnittgerade zwischen zwei Ebenen gibt, müssen die Ebenen parallel sein, d.h. dass die Normalenvektoren der Ebenen ein Vielfaches voneinander (kollinear) sind.

Windschiefe Ebenen gibt es im dreidimensionalen Raum nicht.