Ungleichung mit mehreren Beträgen

Question

Ich lerne gerade Mathestoff aus der Schule nach und stoße auf folgendes Problem, bei dem sich mir noch Verständnisprobleme ergeben und ich mir auch gar nicht sicher bin, ob ich richtig vorgehe:

$$ \frac { |x-3| }{ |x+5| } \le \frac { |x-2| }{ |x+4| } $$

Allgemein habe ich angefangen die Definitionsmenge zu bestimmen mit D=R\{-5, -4, 2, 3}, da die Nenner nicht 0 werden dürfen und im Prinzip jeder Betrag im Nenner stehen könnte nach entsprechendem Umformen.

Soweit ich es verstanden habe, sollte ich nun Fallunterscheidungen für jeden Betrag machen, wann der Inhalt einen positiven oder negativen Wert annimmt.

1)  x >  3 oder x < 3

2)  x > 2 oder x < 2

3) x > -5 oder x < -5

4) x > -4 oder x < -4

Hier hat sich mir nun die Frage gestellt, wie ich nun diese Fallunterscheidungen verknüpfen soll. Wenn ich die äußeren Extreme hernehme ( x > 3 bzw. x < -5) ergeben die Inhalte der Beträge (nicht der Betrag selbst) im 1. Fall positive Werte bzw. im 2. Fall negative Werte.

Wenn ich jetzt aber z. B. x > 2 hernehme ist im Intervall (2,3) der Inhalt des Betrages | x - 3 | negativ, während von (3,unendlich) der Inhalt des Betrags positiv wird. Muss man für all diese extra Fälle eigene Fallunterscheidungen machen, oder übersehe ich nur etwas anderes?


Ein weiteres Verständnisproblem ergibt sich bei der Auflösung einer Fallunterscheidung für mich:

Wenn ich annehme dass zB x > 3 ist, muss ich - soweit ich es verstanden habe - jeden Betrag auflösen und mit Klammern ersetzen und zusätzlich entweder ein + oder - vor die Klammer setzen, je nachdem, welches Ergebnis der Inhalt des Betrages gehabt hätte.

$$ bei \; x\ > 3 :\\ |x-3||x+4|\le |x-2||x+5|\\ (x-3)(x+4)\le (x-2)(x+5) $$

oder z. B.

$$ bei \; x < -5:\\ |x-3||x+4|\le |x-2||x+5|\\ (-x+3)(-x-4)\le (-x+2)(-x+5) $$

Wenn ich jetzt das erste Beispiel auflöse:

$$ bei \; x > 3: \\ |x-3||x+4|\le |x-2||x+5|\\ (x-3)(x+4)\le (x-2)(x+5)\\ x²+4x-3x-12\le x²+5x-2x-10\\ x-12\le 3x-10\\ -2x\le 2\\ x\ge -1 $$

Ich komme darauf, dass x größer gleich -1 sein soll. Vermutlich habe ich irgendwo einen groben Fehler oder deute nur das Ergebnis falsch, aber wenn ich alleine für x = 0 einen Test mache erhalte ich 3/5 ≤ 2/4 = 1/2 was unmöglich eine wahre Aussage für die Ungleichung mit den Beträgen sein kann. Auf das selbe Ergebnis komme ich auch bei x < -5.

Wie muss man die Ergebnise interpretieren? Mach ich etwas grundlegend falsch?

Ich hoffe wirklich, mir kann hier jemand ein paar Ratschläge geben.

Answer 1

Ich mach das mal ganz systematisch. Du hast zwar schon ziemlich viel richtig gemacht, aber es hilft vermutlich mehr, wenn ich von ganz vorne anfange.

Richtig, erstmal musst du den Definitionsbereich so einteilen, dass aus den Beträgen Klammern werden.

Man macht das am besten so, dass man den Definitionsbereich in Intervalle einteilt, da man die relativ leicht untersuchen kann:

Das erste Intervall ist I₁ = ]-∞, -5[ da sich darin insgesamt an den Beträgen nichts tut.

Das zweite Intervall ist I₂ = ]-5, -4[, dann folgen

I₃ = ]-4, 2[

I₄ = ]2, 3[

I₅ = ]3, ∞[

Jetzt nimmst du dir jeweils ein Intervall her, wertest dafür die Beträge aus und stellst die Gleichung nach x um. Daraus erhältst du dann eine zusätzliche Bedingung für das x auf diesem Intervall.

Im ersten Intervall z.B.:

Hier sind alle Beträge negativ, also müssen überall die Vorzeichen umgedreht werden, das hast du ja bereits richtig gemacht.

$$ \frac { | x - 3 | } { | x + 5 | } \leq \frac { | x - 2 | } { | x + 4 | } \\ \frac { 3 - x } { - x - 5 } \leq \frac { 2 - x } { - x - 4 } \quad | · ( - x - 5 ) ( - x - 4 ) $$

Auf diesem Bereich sind beides positive Zahlen!

$$ \left. \begin{array} { l } { ( 3 - x ) ( - x - 4 ) \leq ( 2 - x ) ( - x - 5 ) } \\ { x ^ { 2 } + x - 12 \leq x ^ { 2 } + 3 x - 10 } \\ { - 2 \leq 2 x } \\ { - 1 \leq x } \end{array} \right. $$

Die Anmerkung habe ich dazu geschrieben, damit klar ist, warum ich das Vergleichszeichen nicht umgedreht habe.

So, wir haben jetzt also eine zusätzliche Anforderung:

Wenn x im Intervall I₁ liegt, muss außerdem x ≥ -1 gelten - da aber alle Elemente in I₁ kleiner als -5 sind, gibt es auf diesem Intervall keine Lösung!

Als nächstes überprüfen wir das zweite Intervall:

Hier bekommen alle Beträge außer |x+5| ein Minus:

$$ \left. \begin{array} { l } { \frac { | x - 3 | } { | x + 5 | } \leq \frac { | x - 2 | } { | x + 4 | } } \\ { \frac { 3 - x } { x + 5 } \leq \left. \frac { 2 - x } { - x - 4 } \quad \right| · ( x + 5 ) ( - x - 4 ) } \end{array} \right. \\ \left. \begin{array} { l } { ( 3 - x ) ( - x - 4 ) \leq ( 2 - x ) ( x + 5 ) } \\ { x ^ { 2 } + x - 12 \leq - x ^ { 2 } - 3 x + 10 } \\ { 2 x ^ { 2 } + 4 x - 22 \leq 0 \quad | : 2 } \\ { x ^ { 2 } + 2 x - 11 \leq 0 } \end{array} \right. $$

Quadratische Ungleichungen sind immer ein bisschen schwer zu lösen, weil man beim Wurzelziehen das Vergleichszeichen für eine Lösung umdrehen muss und für die andere nicht.

Deshalb löse ich das hier mal mit quadratischer Ergänzung:

$$ \left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 2 x - 11 \leq 0 } \\ { x ^ { 2 } + 2 x + 1 - 12 \leq 0 } \\ { ( x + 1 ) ^ { 2 } - 12 \leq 0 } \\ { ( x + 1 - \sqrt { 12 } ) ( x + 1 + \sqrt { 12 } ) \leq 0 } \end{array} \right. $$

Im letzten Schritt habe ich die dritte binomische Formel benutzt.

Die Gleichung ist jetzt genau dann richtig, wenn nur eine der beiden Klammern kleiner ist als 0. Sobald beide kleiner sind als 0, wird das Produkt wieder größer als 0.

Das heißt:

x + 1 - √12 ≤ 0

x ≤ -1+√12

und gleichzeitig

x + 1 + √12 ≥ 0

x ≥ -1-√12

Das bedeutet x∈[-1-√12, -1+√12]

ODER

x + 1 + √12 ≤0

x ≤ -1 - √12

und gleichzeitig

x +1 - √12 ≥ 0

x ≥-1+√12

Das kann logischerweise nicht erfüllt sein.

Rechnet man die Zahlen mal ungefähr aus, dann erhält man:

-1 - √12 ≈ -4.47

-1+ √12 ≈ 2.46

Das ergibt uns diesmal tatsächlich einen Bereich, der die Ungleichung löst, nämlich die Schnittmenge aus [-4.46, 2.46] und ]-5, -4[

Das ist die Menge [-4.46, -4[.

Auf dieser Menge ist die Ungleichung erfüllt.

Das ganze musst du jetzt für die anderen Bereiche weiter durchexerzieren, ich denke mehr Sonderfälle als in diesen beiden Situationen können eigentlich nicht auftauchen.