Stammfunktion zu -5/x^5 = -5x/x^6/6?

Question

kann mir bitte jemand bitte die Stammfunktion zu -5/x^5 sagen? ein online Rechner zeigt was mit x^4 im Ergebnis..aber eigentlich muss man doch aufleiten..mein Ergebnis lautet -5x/x^6/6 ich bin mir da aber unsicher...

Answer 1

f(x)=-5/x⁵  = -5*x^-5

Die Stammfunktion:

F(x)= -5/-4 *x^-5+1 = 5/4*x^-4 =5/(4*x⁴)

Probe:

5/(4*x⁴) ableiten:

F(x)=   5/4 * x^-4

F '(x)=  5/4 * (-4) *x^-5 = -5*x^-5  = -5/x⁵        ->stimmt also

Du darfst nicht den Fehler machen derartig "aufzuleiten" : 1/ x⁵   -> Stammfunktion -> 1/x⁶

Wenn  wie hier x⁵ im Nenner! steht, entspricht das einer Multiplikation von x^-5 mit dem Zähler.

-> also: 1/x⁵ = 1*x^-5 das aufleiten:    1*x^-5+1 = 1*x^-4 = 1/x⁴

Answer 2

xⁿ →  Stammfunktionsterm  1/(n+1) • xⁿ⁺¹ + c  ( c = Integrationskonstante aus ℝ)

-5/x⁵ = -5 • x^-5  → Stammfunktionsterm.  -5 • 1/(-4) • x^-4 = 5 / (4x⁴) + c

Gruß Wolfgang

Answer 3

Schreibe das sauberer auf und benutze Potenzgesetze:

f(x): = -5/x⁵  = -5 * x^{-5} 

F(x) =( -5* x^{-5+1}) / (-5 + 1) + C

Nun noch vereinfachen.

F(x) =( -5* x^{-4}) / (-4) + C     | Bruchrechnen

F(x) = (5)/(4x^4) + C 

Kontrolliere dein Resultat mit einer  Ableitung (Quotientenregel). 

Answer 4

das funktioniert nach dieser Formel: (Potenzregel)

https://www.matheretter.de/wiki/integrationsregeln

= -5 ∫ x^{-5} dx

= (-5 ) *  (-1)/4  *x^{-4}

=5/4 *x^{-4} +C