Lineare Abbildungen f: R->R (Matrix). F: L(R,R) -> R, f |-> f(1).

Question

 
Ich hätte eine Frage bezüglich diesen Aufgaben:

a) habe ich versucht so zu beweisen:

Man weiß bereits wegen der Angabe, dass L(R,R) eine lineare Abbildung darstellt, also R ->R.

Schreibt man nun F aus, erhalten wir R->R->R. Somit kann man folgern, dass aufgrund der transitiven Relation die Linearität immer noch gilt.

Stimmt dies so?

zu b) und c) habe ich leider keine Ahnung wie ich vorgehen soll und würde mich übere eure Hilfe freuen! :)

Answer 1

Deinen Ansatz zu a habe ich nicht ganz verstanden. Es geht aber  jedenfalls auch mit der

Definition.  Du musst doch nur zeigen:

F ( g+h) = F(g) + F(h)  und  F ( x*g ) = x* F(g)

F ( g+h) =     (Def. von F )

(g+h)(1) =     ( Def von g+h)

g(1) + h(1) =   Def von F

F(g) + F(h)

  F ( x*g )=  Def von F

  (xg)(1)  =   Def von Zahl*Abb

x* g(1)  =   Def. von F

x*(F(g)) =  Def. von Zahl * Abb

(xF)(g

Hab das Gefühl, dass man für diesen Teil die Linearität der Elemente

von L(IR;IR) gar nicht braucht .

b) injektiv: seinen also g,h aus L(IR;IR) mit F(g)=F(h)

also g(1) = h(1) .

Dann gilt wegen der Linearität der beiden

g(x) = x*g(1) = x*h(1) = h(x) also g=h.

surjektiv:

Sei c aus IR.  Gesucht ist eine Abb h aus L(IR;IR) mit

F(h)=c .   Wähle h : IR ---> IR mit h(x) = c*x

Die ist linear ( notfalls nachweisen ) und wegen

F(h) = h(1) = c*1 = c  ist das F-Bild von h genau das c.

c) Umkehrung hat man damit auch schon erledigt

F ^-1 : IR → L(IR;IR)   

jedem c aus IR wird die Abbildung h : IR ---> IR mit h(x) = c*x

zugeordnet also etwa   F ^-1(c) = c*id.