Deinen Ansatz zu a habe ich nicht ganz verstanden. Es geht aber jedenfalls auch mit der
Definition. Du musst doch nur zeigen:
F ( g+h) = F(g) + F(h) und F ( x*g ) = x* F(g)
F ( g+h) = (Def. von F )
(g+h)(1) = ( Def von g+h)
g(1) + h(1) = Def von F
F(g) + F(h)
F ( x*g )= Def von F
(xg)(1) = Def von Zahl*Abb
x* g(1) = Def. von F
x*(F(g)) = Def. von Zahl * Abb
(xF)(g
Hab das Gefühl, dass man für diesen Teil die Linearität der Elemente
von L(IR;IR) gar nicht braucht .
b) injektiv: seinen also g,h aus L(IR;IR) mit F(g)=F(h)
also g(1) = h(1) .
Dann gilt wegen der Linearität der beiden
g(x) = x*g(1) = x*h(1) = h(x) also g=h.
surjektiv:
Sei c aus IR. Gesucht ist eine Abb h aus L(IR;IR) mit
F(h)=c . Wähle h : IR ---> IR mit h(x) = c*x
Die ist linear ( notfalls nachweisen ) und wegen
F(h) = h(1) = c*1 = c ist das F-Bild von h genau das c.
c) Umkehrung hat man damit auch schon erledigt
F -1 : IR → L(IR;IR)
jedem c aus IR wird die Abbildung h : IR ---> IR mit h(x) = c*x
zugeordnet also etwa F -1(c) = c*id.