Question

Das Schaubild einer Funktion ist symmetrisch zur y.Asche und verläuft durch den Punkt S(0/3) und hat in T(3/0) einen Tiefpunkt.
Geben Sie jeweils die Gleichung
- einer Polynomfunktion 4. Grades
- einer trigonometrischen Funktion
an, deren Schaubild die genannten Bedingungen erfüllt.

Answer 1

Entwickel aus den Angaben mathematische Bedingungen

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f(0) = 3

f(3) = 0

f'(3) = 0

Entwickel daraus die Bedingungen

c = 3

81·a + 9·b + c = 0

108·a + 6·b = 0

Löse das Gleichungssystem. Ich bekomme die Lösung

a = 1/27 ∧ b = - 2/3 ∧ c = 3

Die Gleichung lautet

f(x) = 1/27*x^4 - 2/3x^2 + 3

Die allgemeine Trigonometrische Funktion ist

y = a * cos(b * (x + c)) + d

Wisse dabei was die Parameter bedeuten und stelle auf

y = 1.5 * cos(pi/3 * x) + 1.5

Skizze der Funktionen.

~plot~ 1/27*x^4-2/3*x^2+3;1.5cos(pi/3*x)+1.5 ~plot~

Comments

Kannst du mir den Teil erklären

Entwickel daraus die Bedingungen

c = 3 

81·a + 9·b + c = 0 

108·a + 6·b = 0

---

f(x) = a·x⁴ + b·x² + c

f'(x) = 4·a·x^3 + 2·b·x

f(0) = 3

Hier f(0) = a·0⁴ + b·0² + c = 3 --> c = 3

f(3) = 0

Hier f(3) = a·3⁴ + b·3² + c = 0 --> 81·a + 9·b + c = 0

f'(3) = 0

Hier f'(3) = 4·a·3^3 + 2·b·3 = 0 --> 108·a + 6·b = 0

---

Löse das Gleichungssystem. Ich bekomme die Lösung

a = 1/27 ∧ b = - 2/3 ∧ c = 3

den part verstehe ich auch nicht, sorry ich nerv voll ge

---

c = 3

81·a + 9·b + c = 0

108·a + 6·b = 0

Wir können zunächst c = 3 in die anderen Gleichungen einsetzen

81·a + 9·b + 3 = 0 --> 81·a + 9·b = - 3 --> 27·a + 3·b = - 1

108·a + 6·b = 0 --> 54·a + 3·b = 0

Wir ziehen nun von der zweiten Gleichung die erste ab

(54·a + 3·b) - (27·a + 3·b) = (0) - (- 1)

27·a = 1

a = 1/27

Das setzt man in eine Gleichung mit a und b ein

27·1/27 + 3·b = - 1

1 + 3·b = - 1

3·b = - 2

b = - 2/3

Damit hat man dann a b und c gefunden.

Answer 2

Hallo Chiciasena, lange nichts von dir gehört :-)

> Geben Sie jeweils die Gleichung 
> - einer Polynomfunktion 4. Grades  an

> symmetrisch zur y.Achse 

→  die Funktionsgleichung hat nur gerade Hochzahlen bei den x-Potenzen:

f(x) = ax⁴ + bx² + c  (die Zahlen a,b und c müssen wir bestimmen:

> verläuft durch den Punkt S(0/3)  

für x=0 hat man also den y-Wert 3

f(0) = 3      also :  a • 0 + b • 0 + c = 3    →  c = 3

→   f(x) = ax⁴ + bx² + 3

> hat in T(3/0) einen Tiefpunkt. 

f(3) = 0     also:    a • 3⁴ + b • 3² + 3 = 0  

 →  81a + 9b + 3 = 0  | : 3    →   27a + 3b + 1 = 0  #

bei einem Tiefpunkt muss die Ableitung f '(x) den Wert 0 haben:

f '(x) = 4ax³ + 2bx 

f '(3) = 4a • 3³ + 2b• 3 = 0  →  108a + 6b = 0  →_:6   18a + b = 0 

→ b = -18a 

b dort einsetzen:  27a - 3 • 18a = -1  →  -27a = -1  → a = 1/27

# 27 • 1/27 + 3b = -1  →  1 + 3c = -1 → 3c = -2  → b = -2/3

Also: f(x) = 1/27 x⁴  - 2/3 x² + 3

wenn man die Funktion zeichnet, sieht sie so aus:

Gruß Wolfgang