Bestimmen zweier Geraden über den Schnittpunkt

Question

Ich soll die Gleichungen zweier Geraden bestimmen von denen ich nur den Schnittpunkt habe ( Aufgabe: Bestimme die Gleichung zweier Geraden, die sich im Punkt S (5/4) schneiden).

Kann mir bitte irgendjemand weiterhelfen? : )

Answer 1

da gibt es unendlich viele Möglichkeiten:

y = (a - 4) / (b - 5) • ( x - 5 ) + 4  enthält immer den Punkt S(5|4) 

m = (a - 4) / (b - 5)

Setze in die erste Gleichung  beliebige Zahlen a und b ein, rechne aus und du hast jeweils eine der gesuchten Gleichungen.

Gruß Wolfgang

Comments

Natürlich dürfte man hier für b nicht die Zahl 5 einsetzen.

Etwas einfacher ist es direkt

y = m·(x - 5) + 4
y = n·(x - 5) + 4

zu schreiben, wobei für m und n jetzt beliebige Zahlen mit m ≠ n eingesetzt werden dürfen.

Eine weitere Möglichkeit wäre, die beiden Geraden in der Koordinatenform zu notieren. Dann könnte eine spezielle und vermutlich die einfachste Lösung

x = 5
y = 4

für die beiden Geraden sein.

Hier dazu eine Skizze

~plot~ x=5;4;{5|4};[[-8|8|-6|6]] ~plot~

Answer 2

Ich benutze die Punkt-Steigungsform einer Geradengleichung

\( \frac{y-y_S}{x-x_S}=m \) 

S \((5|4)\)

\( \frac{y-4}{x-5}=m \)

Geradenbüschel: \( y=m (x-5)+4\)

Mit \(m_1=2\)

\(g_1:  y=2\cdot (x-5)+4=2x-6\)

Mit \(m_2=-1\)

\( g_2 :  y=(-1)\cdot(x-5)+4=-x+9 \)

Comments

Das ist doch nichts Neues, eigentlich weniger als die bereits gegebene Antwort.

---

Es ist ein anderer Zugang zur Lösung.

---

Ich sehe hier auch keinen anderen Zugang.

---

FS haben nun 2 Antworten und können selbst entscheiden, welche Lösungsform für sie nützlich ist.

---

Vielfalt ist ja heute angesagt, daher als Anregung:

Schreib noch weitere Antworten, z.B. mit Verschiebung des Schnittpunkts in den Ursprung.

---

Es ginge auch noch mit dem Schnittpunkt in allgemein gehaltener Form mit S\((u|v)\) als Koordinate.

---

Also, ran an die Arbeit. Vektoriell geht auch noch.

---

Ich hätte gerne noch einen wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatz, wo sich die Geraden fast sicher im Punkt \(S\) schneiden!

@nudger: Allerdings sehe ich hier keine Vielfalt, da der Ansatz von Moliets ja keiner neuer ist...

---

Da ich selber die Punkt-Steigungs-Form als

\( y = m \cdot (x - P_x) + Py \)

bevorzuge, ist die Antwort hier schon klarer als bei Wolfgang. Warum er es in einer für den Schüler unverständlicheren Form

y = (a - 4) / (b - 5) • ( x - 5 ) + 4

notieren muss, bleibt mir unklar. Wenn man dann noch sagt, dass man für a und b beliebige Zahlen einsetzen darf, ist es ebenso falsch.

Zum einen darf b nicht 5 sein. Weiterhin dürfen die entstehenden Brüche keine Vielfachen voneinander sein.

a1 = 5 ∧ b1 = 6 sowie a2 = 6 ∧ b2 = 7 wären also nicht erlaubt.

Bei beiden Antworten bleibt aber noch Luft nach oben, denn auf eine Sonderform der Geradengleichung wie x = 5 geht hier leider keiner ein. Auch die ewigen Nörgler nicht, die natürlich nicht mit Verbesserungsvorschlägen aufwarten.

---

Warum er es in einer für den Schüler unverständlicheren Form [...] notieren muss

Tut er nicht, denn eine Zeile weiter unten steht die Definition von \(m\), so dass seine Form genau deiner Form entspricht, nur dass er die Steigung eben schon direkt eingesetzt hat. Daran gibt es also nichts auszusetzen.

Auch die ewigen Nörgler nicht, die natürlich nicht mit Verbesserungsvorschlägen aufwarten.

Deine polemischen Kommentare solltest du dir sparen!

---

Da es für die Aufgabe völlig unerheblich ist wie man die Steigung berechnet kann man es auch gleich in der Kurzform notieren. Dann haben es Schüler die mit Mathe auf Kriegsfuß stehen einfacher.

Und ja auch ich weiß das Moliets unnötierweise auch m als Steigung vorher definiert hat. Auch das halte ich vorher für überflüssig, wenn man es eh nicht benutzt.

Ich erwarte mir grundsätzlich etwas mehr konstruktive statt destruktive Kritik im Forum.

Ich bin auch der Meinung, dass der gleiche Ansatz durchaus auch verschieden notiert werden darf. In erster Linie sollte wichtig sein, dass ein Schüler es versteht. Und ja. Ich weiß, dass da viele Antworten von Moliets leider auch kein gutes Beispiel abgeben. Und ja. Auch weiß ich das meine nicht in Latex gefassten Antworten gewöhnungsbedürftig sind.

---

Moliets hat oft genug konstruktive Vorschläge bekommen, wie er seine Beiträge verbessern kann. Manches setzt er um (zumindest zeitweise), manches nur halbherzig oder es entstehen neue "Patzer".

Ich finde es auch angebracht, wenn angemerkt wird, dass ein Ansatz nicht wirklich neu ist. Wenn man ihn nur anders notieren möchte, fänd ich da einen Kommentar - auch zwecks Übersichtlichkeit - angebrachter.

Da es für die Aufgabe völlig unerheblich ist wie man die Steigung berechnet kann man es auch gleich in der Kurzform notieren. Dann haben es Schüler die mit Mathe auf Kriegsfuß stehen einfacher.

Das würde ich so nicht einmal unterschreiben. Sicherlich sind viele Aufgaben (im Abi vor allem auch im hilfsmittelfreien Teil) so konzipiert, dass es oft einen einfachen "Trick" gibt und die "standardisierte" Vorgehensweise gar nicht notwendig ist. Gerade die etwas schwächeren Schüler lernen aber eben dieses "Rezept" für bestimmte Aufgabentypen auswendig, weshalb sie derartige Abkürzungen gar nicht anwenden können (auch weil häufig das Verständnis dafür fehlt).

Was man hier bspw. schon oft gesehen hat: Da wurde direkt die Tangentengleichung in seiner allgemeinen Form angegeben, während die Schüler in der Regel aber die Vorgehensweise lernen, zunächst \(y=f(x_0)\) und \(m=f'(x_0)\) an der Berührstelle \(x_0\) zu bestimmen und dann über den Ansatz \(y=mx+b\) den fehlenden Parameter zu ermitteln. Dieses Vorgehen dauert nicht einmal erheblich länger, erspart einem aber, sich eine Formel bzw. Gleichung zu merken. Man spart sich also die Karteikarte für die Tangentengleichung, zumal sich Zusammenhänge (wie Tangentensteigung = Ableitungswert) besser einprägen lassen als Formeln, die man dann vielleicht nicht einmal versteht.

Für den konkreten Fall kann ich mir auch nicht vorstellen, dass einem Schüler die Form \(y=m(x-s_x)+s_y\) bekannt ist, da Transformationen von Funktionen frühestens bei den Parabeln eingeführt werden (Scheitelpunktform). Ich gehe nicht davon aus, dass der Großteil in der Lage ist, dieses Wissen auf die einfacheren linearen Funktionen zu übertragen.

---

Die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung begegnet einem bereits in der achten oder neunten Klasse. Und es gibt gar keinen vernünftigen Grund, warum die von manchen Lehrern in der Oberstufe plötzlich in ein schlechtes Licht gerückt wird.

---

Ich weiß nicht, wie es in anderen Bundesländern ist, aber in NRW kenne ich in der Sek I nur noch die Vorgehensweise über das Steigungsdreieck. Insofern wird den meisten diese Form in der Oberstufe also einfach nicht bekannt sein.

---

Die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung begegnet einem bereits in der achten oder neunten Klasse.

Nein, das ist in der Regel nicht so.

Es macht auch keinen Sinn, ohnehin schon überforderte Schüler mit einer Vielzahl von Darstellungsvarianten zuzuschütten.

---

Wenn ich diese Diskussion ernst nehme, dann folgt (einmal mehr): Es ist falsch, hier auf eine Frage aus dem Schulbereich mit einer Lösung zu antworten. Vielmehr muss zunächst der Kenntnisstand des FS erfragt werden.

---

Es macht auch keinen Sinn, ohnehin schon überforderte Schüler mit einer Vielzahl von Darstellungsvarianten zuzuschütten.

Punkt-Steigungs-Form der linearen Funktion

y = m·(x - Px) + Py

Scheitelpunkt-Form der quadratischen Funktion

y = a·(x - Sx)^2 + Sy

Man kann jetzt Schüler mal bitten, Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Funktionsgleichungen herauszuarbeiten.

Wir hatten eine meiner Meinung nach sehr gute Mathelehrerin.

Zu der Zeit gab es auch noch die Aufgaben

Bestimme die lineare Funktion durch den Punkt A(2|3), welche parallel zur Geraden g(x) = 2·x + 3 ist.

oder

Bestimme die lineare Funktion durch den Punkt A(2|3), welche senkrecht zur Geraden g(x) = 2·x + 3 ist.

Das war allerdings eine Zeit, in der man den Unterrichtsstoff noch nicht radikal gekürzt hat und wo noch viel ohne Taschenrechner gemacht worden war.

Heute gibt es nur noch Aufgaben wie

Gegeben ist die Gerade mit der Funktionsgleichung g(x) = 2·x + 3. Bestimme die Steigung m und den y-Achsenabschnitt ys.

---

Nur solche Aufgaben??

---

Nur solche Aufgaben??

Je genau es gibt nur noch diese eine Aufgabe und auch nur mit diesen Zahlen.

Auch in der Klausur.

---

An die Aufgabentypen von MC erinnere ich mich auch noch. Vergleich man heutige Schulbücher mit denen von damals, muss man wirklich erschreckend feststellen, dass das Niveau echt tief gesunken ist.

Dass es nur noch solche Aufgaben gibt, würde ich so pauschal nicht sagen, aber wenn sie etwas anspruchsvoller sind, kommt damit schon niemand mehr zurecht.

---

Zu der allgemeinen Problematik kommen noch die verschiedensten  Bildungspläne und Schularten der einzelnen Bundesländer in Deutschland (+ Schweiz und Österreich).