Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Question

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix} \)

k: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\-7\\-4 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \)

Ich habe 4 Pkt. geg.: 3 -8 -1 ; 0 0 0 ; 1 0 3; 0 0.5 1.5

1 davon soll der Schnittpunkt dieser Geraden sein. Ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen, allerginds was falsch gemacht.

Ich habe zuerst die Geraden gleichgestzt, um t zu bestimmen:

\( \begin{pmatrix} 1\\-7\\-4 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix} \)

=>

1 -1t = 1+2t => 3t=0

0+4t=-7-1t => -5t=-3

3+2t=-4+3t => t=7

das kann aber eigentlich nicht sein, oder? ich musste doch nur 1 wert für alle 3 ts haben. Danach würde ich halt t in g einsetzen und somit den Schnittpunkt ausrechnen. Aber jetzt komme ich nicht weiter, weil ich 3 unterschiedliche ts habe. Habe ich es einfach falsch gerechnet oder ist vielleicht die Aufgabe falsch?...

Answer 1

Aloha :)

Dein Vorgehen ist schon richtig. Du darfst allerdings nicht bei beiden Geraden denselben Parameter \(t\) wählen, die können unabhängig voneinader gewählt werden:$$\left(\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-1\\4\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-7\\-4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)$$$$s\left(\begin{array}{c}-1\\4\\2\end{array}\right)-t\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-7\\-4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right)$$$$s\left(\begin{array}{c}-1\\4\\2\end{array}\right)-t\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-7\\-7\end{array}\right)$$Jetzt hast du 2 Unbekannte \(s\) und \(t\) und 3 Gleichungen. Aus der Gleichung für die erste Komponente folgt:$$-s-2t=0\quad\Rightarrow\quad s=-2t$$Dieses \(s\) setzen wir in die Vektorgleichung ein:

$$-2t\left(\begin{array}{c}-1\\4\\2\end{array}\right)-t\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-7\\-7\end{array}\right)$$$$t\left(\begin{array}{c}2\\-8\\-4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2\\1\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-7\\-7\end{array}\right)$$$$t\left(\begin{array}{c}0\\-7\\-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-7\\-7\end{array}\right)$$Offensichtlich ist \(t=1\) und daher \(s=-2t=-2\). Wenn du nun \(t=1\) oder \(s=-2\) in die entsprechende Geradengleichung einsetzt, bekommst du den Schnittpunt$$S(3|-8|-1)$$