Konvergenz von Folgen berechnen

Question

Ich habe folgende Aufgabe und kann sie leider nicht lösen.

Ist die Folge an mit an=(1-1/n^2)^n konvergent. Falls ja geben sie den Grenzwert an. Begründen sie ihre Antwort präzise.

Meine Idee wäre gewesen zu zeigen das die Folge eine Cauchyfolge ist aber ich wüsste nicht wie ich das am besten anstellen.

Oder ist die Folge doch divergent weil sie beschränkt ist und monoton fällt.

Danke schon mal für die Hilfe

Answer 1

Wenn du mal den TR nimmst und etwas sehr großes einsetz kannst du doch den Grenzwert sehen. Brauchst ihn also nur begründen.

lim (n → ∞) (1 - 1/n^2)^n

lim (n → ∞) EXP(LN((1 - 1/n^2)^n))

Betrachten wir nur den Exponenten

lim (n → ∞) LN((1 - 1/n^2)^n)

lim (n → ∞) n * LN(1 - 1/n^2)

lim (n → ∞) LN(1 - 1/n^2) / (1/n)

L'Hospital

lim (n → ∞) (2/(n·(n^2 - 1))) / (- 1/n^2)

lim (n → ∞) 2·n / (1 - n^2)

lim (n → ∞) 2 / (1/n - n) = 0

Kehren wir jetzt zur Potenz zurück

lim (n → ∞) EXP(LN((1 - 1/n^2)^n)) = EXP(0) = 1

Comments

(1-1/n^2)^n = [(1+1/n)·(1-1/n)]^n = (1+1/n)^n·(1-1/n)^n  →  e·1/e = 1

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Wenn der Fragesteller die Grenzwerte von (1+1/n)ⁿ und (1-1/n)ⁿ so weiß, dann ist das sicher die elegantere wahl.

Grenzwert von (1 + 1/n)^n hätte ich noch gewusst. den anderen schon nicht mehr ... Aber das nächste mal denk ich vielleicht dran :)

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Danke für die verständliche Antwort!