Komplexe Gleichung - Lösungen nach Substitution errechnen

Question

in einer anderen Frage ging es in den Kommentaren bereits um folgende Gleichung:

z^6-4*z^3+8=0

Ich habe entsprechend substituiert:

z^3=u

u^2-4*u+8=0

Damit ergibt sich gemäß p-q-Formel:

u1/2 = 2±√(-12)

Nun hat Mister darauf hingewiesen, dass gemäß der Substitution nun mit der dritten Wurzel von u1/2 die 6 Lösungen der Gleichung berechnet werden.

Ich habe aber dafür keinen Ansatz bzw. weiß nicht, wie ich vorgehen soll.

Kann jemand weiterhelfen?

Danke.

Answer 1

> Damit ergibt sich gemäß p-q-Formel: u1/2 = 2±√(-12)

Das ist falsch. Was hast du als p und was als q gewählt? Und wie lautet deiner Meinung nach die p-q-Formel? Die Substitution hast du korrekt ausgeführt.

> ... mit der dritten Wurzel von u1/2 die 6 Lösungen der Gleichung berechnet werden.

Genauer gesagt, du musst rücksubstituieren. Du musst also u wieder durch z³ ersetzen und die daraus entstehenden Gleichungen lösen.

Comments

-p/2+-√(p/2^2-q), mit -4 und 8 ergibt sich doch daraus 2+-√((-2^2)-8) und damit unter der Wurzel -12?

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> -p/2+-√(p/2²-q)

Das p/2 gehört in Klammern, weil sich ansonsten der Exponent nur auf den Nenner bezieht.

> 2+-√((-2²)-8)

Die -2 gehört in Klammern, weil sich ansonsten der Exponent nur auf die 2 bezieht, nicht auf das Minuszeichen davor.

Exponenten sind so besitzergreifend, dass sie sogar Zahlen von ihren Vorzeichen trennen können. Um das zu verhindern helfen nur Klammern. Beispiel: -5² = -(5·5) = -25 aber (-5)² = (-5)·(-5) = 25.

Answer 2

u²-4*u+8=0

u_1,2 = -p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

z_1,2 = 2 ± \(\sqrt{(2)^2 - 8}\)

Unter der Wurzel ergibt sich also -4

→  u = 2 - 2·i  ∨  u = 2 + 2·i 

z³ =  2 + 2·i   oder  z³ = 2 - 2·i   ergibt  dann jeweils drei Lösungen

Hier findest du die Infos

Gruß Wolfgang