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Seien x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2. Auf V = {f ∈ R[X] | deg(f) ≤ 4} ist durch 

⟨f, g⟩ = ∑i=04 f(xi)g(xi)

ein Skalarprodukt gegeben.

Nun soll ein Orthonormalbasis von V bestimmen. Dass das mit dem Gram-Schmidt-Verfahren geht weiß ich, allerdings hab ich keine Ahnung wie man von obiger Angabe auf die Vektoren kommt

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Du gehst wohl am besten von der Standardbasis aus 1 , x , x^2 , x^3 ,x^4

und wendest Gram-Schmidt darauf an. Ich verwende mal die

Terminologie von https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

Die w1 bis w5 sind also dann 1 , x , x^2 , x^3 ,x^4

Der erste "Vektor"  w1 ist also das Polynom 1+0x+0x^2+0x^3+0x^5

Dann bestimmst du dessen "Länge", also die Wurzel aus dem  Skalarprodukt mit sich selbst,

das wäre bei dir   <w1,,w1> = ∑i=04 w1(xi)w1(xi)  = 1*1 +1*1+1*1+1*1+1*1 = 5

also || w1 || = √5 also   v1 = 1/√5

w2 ist x also brauchst du für v2' = w2 -  < v1, w2 >*v1

eest mal < v1, w2 > ausrechnen:

= ∑i=04 1/√5 w2(xi)  = ∑i=04 1/√5*(xi)      denn w2 ist ja x also w2(xi) = xi

=  1/√5*(-2) +1/√5*(-1) + 1/√5*0 + 1/√5*1 + 1/√5*2 = 0

Prima, dann ist  v2' = w2 und man muss nur noch normieren

< v2 ' , v2 ' > = = ∑i=04 v2 '(xi) ^2 =  4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

also  v2 =  x/√10  

jetzt v3 ' =   w3 -  < v1, w3 >*v1  -  < v2, w3 >*v2 

Dazu erst mal die Skalarprodukte ausrechnen:

< v1, w3 > =  ∑i=04 1/√5*(xi)^2     denn w2 ist ja x^2  also w2(xi) = xi^2 

etc....

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Wozu steht dann in der Aufgabe x0 bis x4?

< v1, w3 > =  ∑i=04 1/√5*(xi)2     denn w2 ist ja x2  also w2(xi) = xi2 

Das sind die Werte, die quadriert werden:

    = 1/√5*(x0)2   + 1/√5*(x1)2   +  1/√5*(x2)2     + 1/√5*(x3)2   +  1/√5*(x4)2  

= (1/√5) *  ( (x0)2   + (x1)2   +  (x2)2     +(x3)2   +  (x4)2  )

= (1/√5) *  ( 4   + 1  +  0    +1  +  4 ) = 10 / √5

Ahhhh, jetzt hab ich's verstanden. Vielen Dank

Also <v2, w3> is dann ∑i=04  1/√10(xi)2 = 10/√10

v2 = x/√10      w3 = x^2 also

v2(xi)*w3(xi) = xi/√10   *  (xi) =    (xi)3 / √10  also

i=04  1/√10(xi)3 = (-8 + -1  + 0 +1 + 8 ) / √10   = 0

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