Du gehst wohl am besten von der Standardbasis aus 1 , x , x^2 , x^3 ,x^4
und wendest Gram-Schmidt darauf an. Ich verwende mal die
Terminologie von https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens
Die w1 bis w5 sind also dann 1 , x , x^2 , x^3 ,x^4
Der erste "Vektor" w1 ist also das Polynom 1+0x+0x^2+0x^3+0x^5
Dann bestimmst du dessen "Länge", also die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst,
das wäre bei dir <w1,,w1> = ∑i=04 w1(xi)w1(xi) = 1*1 +1*1+1*1+1*1+1*1 = 5
also || w1 || = √5 also v1 = 1/√5
w2 ist x also brauchst du für v2' = w2 - < v1, w2 >*v1
eest mal < v1, w2 > ausrechnen:
= ∑i=04 1/√5 w2(xi) = ∑i=04 1/√5*(xi) denn w2 ist ja x also w2(xi) = xi
= 1/√5*(-2) +1/√5*(-1) + 1/√5*0 + 1/√5*1 + 1/√5*2 = 0
Prima, dann ist v2' = w2 und man muss nur noch normieren
< v2 ' , v2 ' > = = ∑i=04 v2 '(xi) ^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
also v2 = x/√10
jetzt v3 ' = w3 - < v1, w3 >*v1 - < v2, w3 >*v2
Dazu erst mal die Skalarprodukte ausrechnen:
< v1, w3 > = ∑i=04 1/√5*(xi)^2 denn w2 ist ja x^2 also w2(xi) = xi^2
etc....