welche maße erhalten die tiergatter wenn die Gesamtfläche maximal sein soll?

Question

Aus 30m draht sollen für einen jahresmarkt zwei tiergatter abgezäunt werden, ein quadratisches und eins in form eines gleichseitigen dreiecks.

welche maße erhalten die gatter, wenn die gesamtfläche maximal sein soll?

Comments

Aus 30m Draht sollen zwei Tiergatter abgezäunt werden, ein quadratisches und eins in Form eines gleichseitigen Dreiecks. Welche Maße erhalten die Gatter, wenn die Gesamtfläche maximal sein soll?

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Unabhängig voneinander dürften die Zäune nicht sein, weil man dann nur ein Minimum findet. Für das Maximum wäre dann der Umfang des Dreiecks gleich 0. Es wäre also nicht vorhanden. 

Gab es noch mehr Infos zu der Aufgabe oder auch eine Zeichnung?

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Die Aufgabe dürfte nur dann Sinn machen falls die beiden
Flächen eine Seite gemeinsam haben.

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Dann wäre allerdings die Frage nach den Abmessungen der Gatter etwas komisch, weil ja beide dann dieselbe Kantenlänge haben. Außerdem kann es dann nur eine fest definierte Kantenlänge geben und es wäre keine Extremalaufgabe ... Ist schon eine merkwürdige Aufgabe.

Answer 1

Nebenbedingung: 

U = 4·a + 3·b = 30 --> b = 10 - 4/3·a

Hauptbedingung: 

A = a^2 + √3/4·b^2

A = a^2 + √3/4·(10 - 4/3·a)^2 

A = a^2·(4·√3/9 + 1) - 20/3·√3·a + 25·√3

A = a·(8·√3/9 + 2) - 20/3·√3 = 0 --> a = a = 90/11·√3 - 120/11 = 3.262 m

A(0) = 43.30 m²

A(3.262) = 24.47 m²

A(7.5) = 56.25 m²

Wenn man die Gesamtfläche maximieren will, stellt man nur ein Gatter auf. Ansonsten wird die Fläche Minimal. Das macht natürlich keinen Sinn, denn dann werden ja keine zwei Tiergatter abgezäunt.

Comments

Du hast die Seitenlängen berechnet, bei denen der Flächeninhalt minimal ist.

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Ich verstehe nicht so ganz was deine haupt und nebenbedingung ist

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Nebenbedingung (NB) ist das die Zaunlänge 30 ist. die NB forme ich um nach b um sie in die Hauptbedingung (HB) einzusetzen.

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@oswald

Das ist richtig. Mit einem Maximum wiederspricht sich die Aufgabe selber. Weil dann keine zwei Gehege abgezäunt werden sondern nur eines. Es ist hier also wenn zwei Gehege abgezäunt werden nur möglich ein Maximum zu erhalten wenn das dreieckige Gehege unendlich klein wird.

Answer 2

Formeln

Umfang eines Quadrates mit Seitenlänge a: 4a

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a: 3a

Flächeninhat eines Quadrates mit Seitenlänge a: a²

Flächeninhat eines gleichseitigen Dreiecks Seitenlänge a: √3/4 a².

Variablen

q: Seitenlänge des Quadrates

d: Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks

A: Zu maximierender Flächeninhalt

Gleichungen

4q + 3d = 30

A = q² + √3/4 d².

Erste Gleichung wird nach q umgestellt: q = 15/2  - 3/4 d

In die zweite Gleichung eingesetzt: A = (15/2  - 3/4 d)² + √3/4 d².

Diese Gleichung kann als Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufgefasst werden:

        A(d) = (15/2  - 3/4 d)² + √3/4 d².

Es handelt sich um eine quadratische Funktion. Der Funktionsgraph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der Flächeninhalt ist deshalb an einem der Ränder des Definitionsbereiches maximal. Also bei d=0 oder bei d=10. Welches der Fall ist kannst du durch Einsetzen prüfen.

Comments

wie kommt man auf d 0 und d 10 weil man muss es doch erst ableitennund wenn man alles ableitet und mit null gleichsetzt bekomme ich nur d 0 raus und nicht 10

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> man muss es doch erst ableiten

Nein. Man muss das Maximum von A(d) berechnen. Man darf dazu auch Mittel verwenden, die man bereits in der neunten oder vielleicht schon in der achten Klasse gelernt hat.

> wie kommt man auf d 0 und d 10

d ist eine Seitenlänge. Seitenlängen können nicht negativ sein. Also ist d≥0.

Es stehen nur 30 m Draht zur Verfügung. Die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks ist ein drittel des Umfangs. Also muss d ≤ 30/3 = 10 sein. Der Definitionsbereich von A(d) ist also das Intervall [0, 10].

Das Maximum des Flächeninhalts kann auftreten bei lokalen Extremstellen oder am Rand des Definitionsbereichs.

Lokale Extremstellen findet man im Allgemeinen über die Ableitung. Speziell bei quadratischen Funktionen kann man aber auch ohne Ableitung den Scheitelpunkt bestimmen (oder über die Form des Funktionsgraphen argumentieren, warum am Scheitelpunkt kein lokales Maximum vorliegen kann).

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verstehe ich nicht wie kann es denn eine quatratische funktion sein, wenn in der gleichung zweimal hoch 2 steht?

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Multipliziere den Term (15/2  - 3/4 d)² aus und fasse zusammen. dann steht da nur noch ein mal d².