Nullstellen und Extrempunkte von Exponentialfunktion

Question

Wie berechne ich die Nullstellen und die Extrempunkte dieser Funktion:

f (x) = (x^2 - 4x + 3)× e^{-x}

Answer 1

Nullstellen berechnest du indem du die Gleichung 0 = (x² - 4x + 3)× e^-x löst.

Extrempunkte berechnest du indem du die Gleichung f'(x) = 0 löst, die Lösungen in die zweite Abeitung einsetzt um zu bestätigen dass es sich tatsächlich um Extremstellen handelt und die Extremstellen in f(x) einsetzt um die Funktionswerte auszurechnen.

Answer 2

Berechnung der Nullstellen:

Anwendung des Satzes vom Nullprodukt:

^{1.) e^{-x} =0}

^{----------->keine Lösung}

2.) x² - 4x + 3 =0--->PQ - Formel

x_1,2=2± √(4-3)

x_1,2=2± 1

x_1=3

x_2=1

2.Berechnung der Extrempunkte:

y'= -(e^{-x}) (x^2-6x+7)

x_e1= 3+√2 Hochpunkt

x_e1= 3-√2 Tiefpunkt

Prüfung durch 2. Ableitung beachten

Ein Hochpunkt liegt vor, wenn gilt:

f′(x0)=0undf′′(x0)<0

Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn gilt:

f′(x0)=0undf′′(x0)>0

Dann noch durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion die y- Werte ermitteln.

Answer 3

Nur der Klammerterm kann Null werden:

x^2-4x+3

(x-3)(x-1)= 0

x1=3

x2=1

Extremstellen:

f '(x)=0

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