a) f ist nicht stetig in 0, weil lim x--> 0+ f(x)=lim x--> 0 x^2+1=1≠ lim x--> 0- f(x)= lim x--> 0 x=0
Daraus folgt auch, das f nicht differenzierbar in x=0 ist.
Für alle anderen x ungleich 0 ist f stetig und differenzierbar, da es sich um Polynome handelt.
b) g ist stetig in 0, da
lim x--> 0+ g(x)= lim x--> 0- g(x)=0
Ebenso ist g stetig für alle anderen x∈ℝ
g ist in 0 nicht differenzierbar, da lim h-->0+ (g(0+h)-g(0))/h= lim h-->0+ ((h)^2)/h=0
ungleich lim h-->0- (g(0+h)-g(0))/h=lim h-->0- (-h)/h=-1
Der Grenzwert des Differentialquotienten an der Stelle 0 existiert also nicht.
Für alle anderen x∈ℝ ist g differenzierbar, da es sich um Polynome handelt.
Gegenbeispiel Kettenregel:
g(x)=|x|, nicht differenzierbar in 0
h(x)=x^2 überall differenzierbar
--> h(g(x))=|x|^2=x^2 differenzierbar auch in 0
