∀(q, e) ∈ ℚ für (q, e) > 0: ∃(n,m) ∈ ℕ: q < n * 2-m < q + e
ich würde es eher so machen , aber vielleicht habt ihr Abkürzungen vereinbart
∀(q, e) ∈ ℚxℚ für q>0 und e> 0: ∃(n,m) ∈ ℕxℕ : q < n * 2-m < q + e
Problem bei deinem Beweis ist: n=q macht keinen Sinn,
da q keine nat. Zahl sein muss.
mein Beweis: weil e>0 führt die sukkzessive Verdoppelung von e irgendwann
auf einen Wert, der größer als 2 ist. Formal genau:
e*2^m > 2 ⇔ m > 1 - ln(e) / ln(2)
rechts vom > - Zeichen steht eine reelle Zahl und nach dem Axiom von Archimedes
gibt es zu jeder reellen Zahl eine nat. Zahl die größer ist.
Eine solche ist das m.
Dann gibt es also ein m mit e*2^m > 2
und damit gilt (q+e)*2^m - q*2^m = e*2^m > 2
also liegt zwischen (q+e)*2^m und q*2^m
sicherlich eine nat. Zahl, die nennen wir n.
Dann gilt q*2^m < n < (q+e)*2^m
q < n / 2^m < q+e
q.e.d.