Konstruktiver beweis q < n * 2 ^{-m} < q + e

Question

Für beliebige positive rationale Zahlen q und e gibt es zwei natürliche Zahlen n und m so, dass q < n * 2^-m < q + e gilt.

Formulieren Sie diesen Sachverhalt zunächst als pradikätenlogische Formel.

Beweisen Sie dann möglichst formal, dass der Satz wahr ist.

Meine prädikatenlogische Formel:

∀(q, e) ∈ ℚ für (q, e) > 0: ∃(n,m) ∈ ℕ: q < n * 2^-m < q + e

Ist die richtig?

Kann ich als Beweis einfach sagen, dass n = q und 2^-m kann beliebig klein werden, wenn m größer wird. Also findet man immer ein m womit 2^-m < e.

Das kommt mir zwar zu knapp vor. Aber ich wüsste nicht, wie ich es sonst machen soll.

Comments

Die prädikatenlogische Formel scheint mir ok. Man könnte vielleicht noch "x N" ergänzen: 

" ∃(n,m) ∈ ℕ x ℕ  "

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Wieso  ℕ x ℕ ?

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(n,m)  ist ein Zahlenpaar. 

Oder wie willst du das lesen? 

Wie gesagt, ist "x N" nicht nötig, wenn ihr das nicht so macht. 

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naja n und m sind zwei verschiedene unabhängige zahlen. Darf man dann keine Klammern drumrum machen?

Ich dachte halt, dass es dann eindeutiger ist, dass das für beide zahlen zählt

Answer 1

∀(q, e) ∈ ℚ für (q, e) > 0: ∃(n,m) ∈ ℕ: q < n * 2^-m < q + e

ich würde es eher so machen , aber vielleicht habt ihr Abkürzungen vereinbart

∀(q, e) ∈ ℚxℚ   für q>0 und e> 0: ∃(n,m) ∈ ℕxℕ  : q < n * 2^-m < q + e

Problem bei deinem Beweis ist:  n=q macht keinen Sinn,

da q keine nat. Zahl sein muss.

mein Beweis:  weil e>0 führt die sukkzessive Verdoppelung von e irgendwann

auf einen Wert, der größer als 2 ist. Formal genau:

e*2^m > 2  ⇔ m > 1 - ln(e) / ln(2) 

rechts vom > - Zeichen steht eine reelle Zahl und nach dem Axiom von Archimedes

gibt es zu jeder reellen Zahl eine nat. Zahl die größer ist.

Eine solche ist das m.

Dann gibt es also ein m mit  e*2^m > 2

und damit gilt (q+e)*2^m  - q*2^m =  e*2^m  > 2

also liegt zwischen  (q+e)*2^m   und    q*2^m 

sicherlich eine nat. Zahl, die nennen wir n.

Dann gilt     q*2^m  < n <  (q+e)*2^m 

                    q    < n  /  2^m  <  q+e

q.e.d.