Kurvendiskussion Analysis: f(x)=1/4*e^{1-x}+3/4*e^{x+1}

Question

Kann mir bitte wer bei folgender Kurvendiskussion helfe?!

f(x)=1/4*e^{1-x}+3/4*e^{x+1}

Kann mir vor allem wer erklären was der Unterschied zwischen lokale Extremstellen und globale Extrema ist?

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Nullstellen f(x) = 0

3/4·e^{x + 1} + 1/4·e^{1 - x} = 0
3/4·e^{x + 1} = - 1/4·e^{1 - x}  |  * 4 / 3
e^{x + 1} = - 1/3 * e^{1 - x}  |  : e^{x-1}
e^{x+1} / e^{x-1} = - 1/3

hier könnte man schon aufhören. Die e-Funktion ist immer positiv
deshalb ist der Quotient auch positiv  und kann nicht -1/3 werden.

Ansonsten
e^{x+1-[x-1]} = -1/3
e^2 = -1/3

Answer 1

Einen Unterschied zwischen den Begriffen Extremstellen und Extrema gibt es nicht. Der Unterschied liegt in den Eigenschaften "lokal" (in unmittebarer Umgebung des Extremums) und "global" (im gesamten Definitionsbereich). In diesem Falle ist das lokale Extremum auch das globale Extremum.

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Einen Unterschied zwischen den Begriffen Extremstellen und Extrema gibt es nicht. Der Unterschied liegt in den Eigenschaften "lokal" (in unmittelbarer Umgebung des Extremums) und "global" (im gesamten Definitionsbereich). In diesem Falle ist das lokale Extremum auch das globale Extremum.

Das ist nicht richtig. In der Schulmathematik wird unter einer Extremstelle einer Funktion durchgehend die erste Koordinate eines Extrempunktes verstanden, während ein Extremum oder auch Extremwert immer die zweite Koordinate eines Extrempunktes bezeichnet. Ausnahmen mag es geben und außerhalb der Schulmathematik wird das manchmal auch anders gehandhabt.

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Hallo Roland,

der Punkt wird definiert durch beiden Koordinaten ( x | y ).
Bei einer Stelle wird nur der x - Wert angegeben.

Extrempunkte ( Vergleich mit den Alpen ) :
Die Zugspitze ist ein lokales Maximum
Der Mont Blanc das globale Maximum.

Das Maximum oder Minimum kann auch an den Rändern des
Definitionsbereichs auftreten : Randmaximum.

mfg Georg

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Georg, offensichtich gehst du davon aus, dass mit "Extremum" ein Punkt gemeint ist und nicht nur eine Stelle. Na gut. dann hast du recht.

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Als Extremum wird in der Schulmathematik üblicherweise ein Funktionswert bezeichnet, nicht aber ein Punkt!

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Hallo Roland,

der Fragesteller hat sicherlich nicht unterschieden zwischen

Extremstelle und Extrema

Hochgenau
Extremstelle - die x -Koordinate
Extremwert ( Maximum oder Minimum ) - Funktionswert an der Extremstelle
- die y-Koordinate

Der Fragsteller will sicherlich wissen was der Unterschied  zwischen
lokal und global ist.

Deshalb der anschaulicher Vergleich meinerseits.

mfg Georg

Answer 2

Schau dir doch zunächst den Graphen an.

~plot~ 3/4*e^{x + 1} + 1/4*e^{1 - x};[[-3|3|0|10]] ~plot~

Wir haben einen lokalen Tiefpunkt. Dieser ist auch das globale Minimum.

y = x^3 - x hat z.B. lokale Extrempunkte aber keine globalen, weil die Funktion immer noch kleinere und größere Funktionswerte hat. 

Beginne deine Recherche bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert

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Funktion und Ableitungen

f(x) = 3/4·e^{x + 1} + 1/4·e^{1 - x}

f'(x) = 3/4·e^{x + 1} - 1/4·e^{1 - x}

f''(x) = 3/4·e^{x + 1} + 1/4·e^{1 - x}

Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

lim (x → - ∞) f(x) = ∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 3/4·e^{0 + 1} + 1/4·e^{1 - 0} = 3/4·e + 1/4·e = e = 2.718

Nullstellen f(x) = 0

3/4·e^{x + 1} + 1/4·e^{1 - x} = 0

3·e^{x} + 1·e^{- x} = 0

3·z + 1/z = 0

3·z^2 + 1 = 0

z^2 = - 1/3 --> Keine Lösung

Extrempunkte f'(x) = 0

3/4·e^{x + 1} - 1/4·e^{1 - x} = 0

3/4·e·e^{x} - 1/4·e·e^{- x} = 0

3·e^{x} - 1·e^{- x} = 0

3·z - 1/z = 0

3·z^2 - 1 = 0

z^2 = 1/3

z = ± √(1/3)

e^x = √(1/3) --> x = - ln(3)/2 = - 0.5493

f(- ln(3)/2) = √3/2·e = 2.354 --> TP(- 0.5493 | 2.354)

Wendepunkte f''(x) = 0

f''(x) = 3/4·e^{x + 1} + 1/4·e^{1 - x} = 0 --> Keine Lösung, siehe bei den Nullstellen

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Ich versteh nicht ganz wie du die Gleichung der Nullstellen löst! Du setzt e^1-x und e^1+x beides z?

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einmal steht z im zähler und einmal im nenner. das ist ein großer unterschied.

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Schon aber warum steht es überhaupt im Nenner?

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Hallo mathecoach,

du hast einen Fehler gemacht.

3/4·e^{x + 1} + 1/4·e^{1 - x} = 0

3/4·e^{x + 1} + 1/(4·e^{x - 1}) = 0

das e hoch ( 1 - x  ) wandelt sich zu e hoch ( x - 1 )

und entspricht damit nicht  dem
e hoch ( x +1 ) des ersten Summanden.

mfg Georg

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Hätte mir eigentlich Auffallen sollen, wenn ich mal auf den Graphen geblickt hätte. Das kommt davon, wenn man die Kontrolle den Fragestellern überlässt :-) Ich änder das gleich mal.