Integral von 1 bis unendlich von (ln(x))/(((1+ 3.te-Wurzel (x^2))^2)

Question

kann mir einer das uneigentliche Integral von 1 bis unendlich von (ln(x))/(((1+ 3.te-Wurzel (x^2))^2) sagen (falls es exisitiert) und zeigen, wie er darauf gekommen ist?

Grüße

Comments

soll das da gemeint sein?

$$ \int_1^\infty \quad  \frac{\ln(x)}{(1+ x^{\frac 23})^2}  \quad dx$$

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Ja, damit soll das gemeint sein

Answer 1

$$ \int_1^\infty \quad  \frac{\ln(x)}{(1+ x^{\frac 23})^2}  \quad dx $$
$$s=x^{\frac13}$$$$\frac{ds}{dx}=\frac13 x^{-\frac 23}$$$$dx=3 x^{\frac 23}\quad ds$$$$x=s^3$$$$dx=3 s^{2}\quad ds$$
$$ \int_1^\infty \quad  \frac{\ln(s^3)}{(1+ s^{2})^2}  \quad 3 s^{2}\quad ds $$
$$ \int_1^\infty \quad 3\ln(s) \frac{3 s^{2}}{(1+ s^{2})^2}  \quad ds $$
$$ 9\cdot \int_1^\infty \quad   \ln(s) \cdot \left(\frac{ s}{(1+ s^{2})} \right)^2 \quad ds $$
$$ 9\cdot \int_1^\infty \quad   \ln(s) \cdot \frac{ s^2}{1+ s^2}  \cdot \frac{ 1}{1+ s^2} \quad ds $$
Hinweise zum Weitermachen:
$$  \int \quad \frac 1s  \quad ds = \ln(s)$$
$$  \int \quad \frac{ 1}{1+ s^2}   \quad ds = \arctan (s)$$
$$  \int \quad \frac{ s^2}{1+ s^2}   \quad ds = s -\arctan (s)$$