Beweisen oder widerlegen. det(A+B) = det(A) + det(B) für R_(nxn) , n ≥ 2

Question

Beweisen oder widerlegen, dass es ein n ∈ ℕ mit n ≥ 2 gibt, so dass für alle A, B ∈ R^nxn gilt:

det (A+B) = det (A) + det (B)

Hat da jemand mal einen Ansatz für mich?

Ich weiß nicht wie ich da rangehen soll.

Answer 1

das \( n \) kann schon mal nicht gerade sein, denn:

Wähle \( B = - A \) und \( A \) mit \( \det(A) \neq 0 \) und \( n \) gerade.

Dann ist \( \det(A+B) = \det(0) \) aber \( \det(A) + \det(B) = 2 \det(A) \neq 0 \).

Wenn überhaupt, dann muss dein \( n \) ungerade sein.

Mister

Comments

wieso genau funktioniert da denn nur bei geraden n?
Was ist denn der Grund dafür?

LG Freddar

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Der Grund ist, dass für gerade \( n \) gilt: \( \det(A) = \det(-A) \).

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Ein Gegenbeispiel für alle \( n \geq 2 \) ergibt sich aus \( B = A \).

Es ist dann

\( \det(A + A) = \det(2 A) = 2^n \det(A) \neq 2 \det(A) = \det(A) + \det(A) \).

Voraussetzung für dieses Gegenbeispiel ist \( \det(A) \neq 0 \). Hier siehst du auch, dass dieses Gegenbeispiel für \( n = 1 \) nicht funktionieren würde.