Wahrscheinlichkeitstheorie Beweis Paarweise disjunkte Ereignisse

Question

wie kann ich folgende Aussage über paarweise disjunkte Ereignisse beweisen?

Ich muss ja hinten im Summenzeichen irgendwas verändern, oder?

Vielen Dank :)

Comments

Könnte man doch mit vollständiger Induktion machen oder nicht ?

---

Benutze P( A ∪ B ) = P(A)  +  P(B)   -  P(A∩B) 

und den Kommentar vom Mathecoach.

---

Wenn die Ereignisse paarweise disjunkt sind gilt außerdem:

P(A ∩ B) = 0

D.h.

P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)

https://de.wikipedia.org/wiki/Disjunkt

---

Na jetzt kann ja nichts mehr schief gehen.

---

Vielleicht solltest du auch noch erwähnen, was du alles benutzen darfst. Vom maßtheoretischen Standpunkt aus wäre hier überhaupt nichts zu zeigen: Jedes Maß (also auch jedes Wahrscheinlichkeitsmaß) ist per Definition \(\sigma\)-additiv. ;-)

Answer 1

So auch wenn die Kommentare es schon andeuten lassen: Die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung aller Ereignisse A₁,..., A_n ist ja nichts anderes als Ω = 1 (Also das set aller möglichen Ergebnisse des Experiments) . Da A_i ∩ Aj = ∅ für i ungleich j gilt, kann man das Gesetz der paarweise disjunkten Mengen anwenden. Links deiner Gleichung hast du ja wie gesagt eine endliche Vereinigung über die Ergebnisse A₁,..., A_n. Da Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B), ist das in diesem Fall genau das was du auf der rechten Seite hast: eine endliche Aufsummierung der Teilwahrscheinlichkeiten A_1,....,  An. Es ist quasi genau dieses Gesetz nur eben das du hier nicht nur A und B vereinigst sondern über alle Ereignisse von Omega, der Menge aller möglichen Ereignisse.