Differenzieren, mehrere Variablen, partielle Ableitungen

Question

ich soll zeigen, dass meine Funktion f(x,y)= ... in (0,0) differenzierbar ist aber ihre partiellen Ableitungen df/dx und df/dy in (0,0) nicht stetig sind.

Ich hab jetzt nach Beispielen und Formeln gesucht, aber nichts gefunden, was mir weiterhilft bzw. was mich nicht weiter verwirrt.

Könnte mir vielleicht jemand ein anständig durchgerechnetes Beispiel zeigen, damit ich weiß wie ich vorgehen muss. Denke nämlich dass meine Aufgabe super machbar ist, aber es einfach nur daran hapert, dass ich nicht weiß wie ich anfangen soll.

Comments

Sähe man Deine Aufgabenstellung, könnte mancheiner zur Hilfe eilen.

Aber soll ich mir jetzt eine Aufgabe ausdenken, die so ähnlich sein könnte, wie die Dir vorliegende?

Damit Du dann antwortest :

" Danke, aber es ist nicht ganz so , wie ich's geträumt hab.

Probiere doch bitte noch zwei oder drei andere Beispiele, bis zufällig genügend Ähnlichkeiten mit meiner Fragestellung auftreten."

Aber bitte jeweils mit kompletter Erklärung zu jeder einzelnen Umformung, sonst verstehe ich es nicht. Aber nicht so langen Text - ich lese nämlich nicht gern."

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Man könnte aber auch fragen, wenn man mehr Informationen haben möchte und helfen kann /will.

Aufgabenstellung ist so, wie sie da steht: differenzieren in (0,0), aber die partiellen Ableitungen sind nicht stetig in (0,0). Mehr gibt es zu der Aufgabenstellung nicht zu sagen. Ich wollte die Aufgabe gerne selbst versuchen und nicht direkt eine Volllösung haben, so wie es hier manchmal gerne gemacht wird.

Ich hab nach nem Vorgehen, ner Anleitung oder ähnlichen gebeten, wodran ich sehe, wie ich die Aufgabe bearbeiten muss, weil ich selber nichts gefunden habe. Ein "Schritt-für-Schritt"-Teil, wenn du so willst. Denn das was ich gesehen habe, waren triviale Beispiele mit Lösungen ohne Rechenweg und da kann ich die Rechenschritte nicht ablesen, wenns keine gibt.

Ich bin gewillt mir nen Test durchzulesen oder ein Beispiel selbst nochmal durchzurechnen. Bin nämlich keine von den 15-jährigen, die es nicht hinkriegt ein paar Buchstaben im Satz den Pythagoras auszutauschen um ihn an meine Aufgabe anzupassen.

Und falls es dich dann doch interessiert: f(x,y) = (x^2+y^2) sin(1/(x^2+y^2)) für (x,y) ≠ (0,0) und f(x,y) = 0 für (x,y) = (0,0)

Answer 1

Idee:

Um das mal zu vereinfachen habe ich die y-Koordinate = 0 gesetzt
$$ f(x,0) = x^2 \,\cdot \,  \sin\left(\frac1{x^2}\right) $$
$$ f'(x,0) = 2 \,\cdot \, \left( x \,  \sin\left(\frac1{x^2}\right) -  \frac {\cos\left(\frac1{x^2}\right)}{x} \, \,\right)$$
Die Ableitung ist für x=0 nicht definiert - denn an dieser Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar. Nix Neues - steht ja so im Text.
$$\\---$$ Die Näherung x-->0 könnte man so bewerkstelligen: Der Sinusanteil oszilliert mit gegen unendlich tendierender Frequenz zwischen +1 und -1 ohne zu konvergieren. Die Amplitude folgt jedoch x^2 und somit wird die Hüllkurve durch eine Normalparabel innerhalb des Intervalles$$( -\frac \pi4;+\frac \pi4)$$ darstellbar, so dass die Funktion der Hüllkurve $$h_+(x)= x^2$$ bzw. $$h_-(x)= -x^2$$im Intervall$$(-0,1466...\pi;+0,1466... \pi)$$immer stärker folgt, je näher der x-Wert gegen Null läuft.
$$\\---$$

Wie gewünscht keine Komplettlösung und der Ansatz ist "ohne Gewähr"

Nachdem es nun eine bearbeitbare Funktion gibt, könnte eventuell ein anderer Forenteilnehmer noch einen Beitrag leisten, der etwas schulmathematischer ausformuliert ist.

Ich hoffe, dass dabei Deinem Wunsch keine Komplettlösung serviert zu bekommen, entsprochen wird.

Comments

Die Ableitung ist für x=0 nicht definiert - denn an dieser Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar.

Den Satz musst du wohl noch mal überarbeiten

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Ein deshalb anstelle des denn korrigiert die Richtung Ursache - Wirkung hoffe ich.

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hoffe ich

Die Hoffnung stirbt ja bekanntlich zuletzt