Question

(x^2-16) durch (x-4) polstelle bei 4 warum nicht? und 3. binom nullstellen stimmen auch nicht warum?

Answer 1

f ( x ) = ( x²-16 ) /  ( x-4 )

Def - Bereich : ℝ \ { 4 }

oder [ ( x + 4 ) * ( x - 4 ) ] / (  x- 4 )

Polstelle lim x −> 4 : Funktionswerte gehen gegen unendlich

lim x −> 4 [ ( x + 4 ) * ( x - 4 ) ] / (  x- 4 )
da ( x - 4 ) noch nicht 0 ist darf noch gekürzt werden

lim x −> 4   [ ( x + 4 )   ] = 8

In der Nähe von x = 4 geht der Funktionswert gegen 8 und nicht gegen unendlich
und ist  somit keine Polstelle.

~plot~ (x^{2}-16)/(x-4) ; [[ 0 | 10 | 0 | 15 ]] ~plot~

Erweiterte Funktion : Die Funktion

f ( x ) = ( x²-16 ) /  ( x-4 )

Kann ersetzt werden durch

f ( x ) = x + 4

unter Beibehaltung des Def - Bereichs: D  = ℝ \ { 4 }

Answer 2

f(x)=(x^2-16)/(x-4) kann mithilfe der 3. bin. Formel umgeschrieben werden zu

f(x)=(x+4)*(x-4)/(x-4)=x+4

zu beachten ist nur, dassx=4 nicht im Definitionsbereich liegt.

Die Funktion hat den Grenzwert:

lim x-->4 f(x)=8

Somit handelt es sich nicht um eine Polstelle, sondern um eine stetig behebbare Lücke.