Extremwerte berechnen

Question

hallo ,

gegeben ist  f(x,y) = (x+y)²  . wie berechne ich hier die Extremwerte ?? wenn ich Gradient von f ausrechne dann habe ich 

1.) 2x + 2y = 0 und

2.) 2x + 2y = 0

d.h  x = -y

dann habe ich unendlich viele stationäre Punkte stimmt das so ?

aber wenn ich Hessian Matrix anschaue dann habe ich positive semidefinite.. was sagt mir das ?

vl kann mir jemand bei diese Aufgabe helfen

lg

Answer 1

f(x,y)=(x+y)^2

df/dx=2(x+y)=0

df/dy=2(x+y)=0 --> x=-y

Hesse Matrix:

f_xx=2

f_yy=2

f_xy=f_yx=2

Hess(f)=((2,2),(2,2))

charackteristisches Polynom:

(2-λ)^2-4=0

-->λ₁=4,λ₂=0

--> Matrix ist positiv semidefinit --> Minimum oder Sattelpunkt

Es handelt sich aber um ein Minimum, da (x+y)^2 niemals kleiner als 0 werden kann.

min= (x,-x,0)^T für alle x ∈ℝ

Comments

vielen dank für deine Hilfe...

falls ich eine andere Funktion habe die aber < 0 werden kann. kann ich dann gleich davon ausgehen dass die Stationäre Punkt ein Sattelpunkt ist ??

und ich habe noch eine Frage.. was wenn ich eine Funktion habe die im Nenner nicht 0 sein darf z.b

 f(x,y)= x+y+8/(xy) ??

sorry für so viele Fragen aber ich schreib bald Analysis Klausur und ich möchte sehr gut vorbereitet sein.

lg

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wenn die Funktion zusätzlich kleiner Null werden kann, ändern sich die Eigenwerte der Hesse Matrix. Das hängt dann natürlich von der Funktion genau ab. So allgemein kann man das nicht vorhersagen.

Wenn der Nenner nicht Null sein darf:

Das ändert nichts, du musst die selben Schritte ausführen wie immer, ableiten, nullsetzen, Gleichungssystem lösen, Hesse Matrix bestimmen,einsetzen, Eigenwerte bestimmen, Definitheit prüfen

Zu beachten gilt nur, das du den Definitionsbereich entsprechend anpassen musst ( in deinem Beispiel sind alle Punkte, für die gilt x=0 oder y=0, nicht im Definitionsbereich )

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danke :)