Bogenlänge der Kurve bestimmen?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Bogenlängen der Kurve in dem angegebenen Intervall.

x = (t²-2) sin t + 2t cos t

y = (2-t²) cos t + 2t sin t

mit t ∈ [0, 2]

Verstehe nicht wie man das berechnet, ich kenne nur die Bogenlänge von f(x),

aber jetzt habe ich ja x und y und dann noch mit t ??

Answer 1

L=∫|d/dt(x,y)|

d/dt (x,y)=(t^2*cos(t),t^2*sin(t))

|(t^2*cos(t),t^2*sin(t))|=√[t^4*cos(t^2)+t^4*sin(t)^2]=t^2

--> L=∫₀² t^2 dt=8/3

Comments

Probe per wolframAlpha.com:

arc length {(t²-2) sin(t) + 2t cos(t), (2-t²) cos(t)+2t sin(t)} from t=0 to 2

8/3 -> stimmt

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Wie bist du denn von √[t⁴*cos(t²)+t⁴*sin(t)²]  auf t² gekommen?

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Mithilfe des trigonometrischen Pythagoras:

sin(t)^2*t^4+cos(t)^4*t^2=t^4*(sin(t)^2+cos(t)^2)=t^4

und davon die Wurzel macht t^2

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Danke aber glaube du hast dich verschrieben, es müsste dann doch so heißen oder?

sin(t)²*t⁴+cos(t)²*t⁴ = t⁴*(sin(t)²+cos(t)²)=t⁴

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jo hab mich verschrieben, soll t^4 sein

Answer 2

Siehe hier unter:

Wege in der Ebene und im Raum:

https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)