Fragen zur Grenzwertberechnung

Question

Ich habe gerade mehrer Aufgaben zur Konvergenzbestimmung von Reihen gelöst und oft als Begründung der Divergenz angegeben, dass die Folge nicht gegen Null geht. Bei drei Aufgaben kann ich aber diese Behauptung nicht mit einer Berechnung hinterlegen, obwohl ich das gerne tun würde...

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2^n}{n+1}=\infty\\\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt { n}}{\ln n}=\infty\\\lim_{x\to\infty}\frac{5^n}{4^n}=\infty $$

Ich habe die Ergebnis durch einsetzten erlangt, abgesehen von Nummer 2, da der logarithmus meines Wissens nach langsamer Wächst als jede andere Funktion. Kann mir jemand zeigen, wie man die Rechnung führen könnte?

Comments

Den Grenzwert mit dem logarithmus habe ich per Hospital berechnet, fehlen nur noch die anderen beiden :)

Answer 1

Hospital ist auch beim ersten möglich.

2^n abgeleitet ergibt 2^n * log(2)

Als Begründung hat bei uns zumindest immer gereicht, dass wir gesagt haben,dass so eine Potenz viel schneller wächst als eine lineare Funktion.

Das letzte ist auch sehr einfach:

5^n / 4^n = (5/4)^n

5/4 > 1  daraus folgt dass das ganze gegen unendlich geht.

Answer 2

Ich nehme an es soll n gegen unendlich heißen.

c.)
5^n / 4^n =  (5 / 4)^n

Ist der Klammerausdruck > 1 geht es gegen unendlich
Ist der Klammerausdruck < 1 geht es gegen 0

Comments

a.)
ist unendlich / unendlich
L´Hospital ist angesagt.

Hier die allgemeine Ableitung einer Exponentialfunktion
sowie die Lösung der Aufgabe.