geometrische Reihe, macht der Laufindex einen Unterschied?

Question

$$ \sum_{n=1}^{\infty}({\frac { 1 }{ 3 })^n}=\frac { 1 }{ 1-? }\\\sum_{n=0}^{\infty}{(\frac { 1 }{ 3 })^n}= \frac { 1 }{ 1-1/3 } \\\sum_{n=1}^{\infty}{ar^{n-1}=\frac { a }{ 1-r }}$$
Beim obersten, ist das erste Glied gleich 1/3 und stimmt nicht mit der Def. der geometrischen Reihe, wie ich sie kenne überein, da dort der Exponent gleich 0 wird und somit das erste Glied immer gleich 1 ist, wenn a=1 gilt. In meinem Buch, wird folgende Rechnung dargelegt, dabei soll man die Konvergenz einer Reihe zeigen:
$$\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac { n }{ 3n +1 })^n }\\  (\frac { n }{ 3n +1 })^n<(\frac { n }{ 3n})^n=(\frac { 1}{ 3})^n=\frac { 1 }{ 1-1/3}$$
Wieso konnten sie die geometrische Reihe anwenden? Ich hoffe, dass meine Frage halbwegs verständlich formuliert wurde und ihr mich auf meinen Denkfehler aufmerksam machen könnt :)

Answer 1

Der Laufindex spielt schon eine Rolle, wenn du den Grenzwert haben willst.

∑ (n = 0 bis ∞) (q^n) = 1/(1 - q) für |q| < 1

∑ (n = 0 bis ∞) (q^n) = ∑ (n = 0 bis 0) (q^n) + ∑ (n = 1 bis ∞) (q^n)

∑ (n = 0 bis ∞) (q^n) = (q^0) + ∑ (n = 1 bis ∞) (q^n)

∑ (n = 0 bis ∞) (q^n) = 1 + ∑ (n = 1 bis ∞) (q^n)

1/(1 - q) = 1 + ∑ (n = 1 bis ∞) (q^n)

∑ (n = 1 bis ∞) (q^n) = 1/(1 - q) - 1 = q/(1 - q)

In der Rechnung oben sind mehrere dicke Fehler

(1/3)^n = 1/(1 - 1/3)

So wie es dort steht ist es total falsch und ich hoffe so hat das auch kein Lehrer oder Professort irgendwie angeschrieben.

∑ (n = 1 bis ∞) ((1/3)^n) = 1/3 / (1 - 1/3) = 1/2 = 0.5

Wir wissen also das die Reihe mit den höheren Summanden gegen 0.5 konvergiert. Damit konvergiert die Reihe mit den niedrigeren Summanden ebenso. Gegen welchen wert die Reihe konvergiert wissen wir damit aber noch nicht. Nur das es kleiner 1/2 sein sollte.

Answer 2

Das erste Glied einer geometrischen Reihe ist keineswegs grundsätzlich gleich 1, sondern wird a₀ genannt. In diesem Falle ist a₀ = 1/3 und alles ist wieder im Lot.

Answer 3

Wenn man nach oben abschätzt, ist es egal, ob man ein (fiktives positives) Glied (das erste) addiert.

Exakt wäre es ja

$$ \sum_{n=1}^{\infty}({\frac { 1 }{ 3 })^n}=\frac { 1 }{ 1-1/3 } $$

                                                                - (1/3)^0