f(x,y) = 2·x4 + y4 + x2 - 2·y2
fx = 8·x3 + 2·x = 0 und fy = 4·y3 - 4·y = 0
↔ 2x · (4x2 + 1) = 0 und 4y · (y2 -1) = 0
→ (x = 0 ∧ y = -1) ∨ (x = 0 ∧ y = 1) ∨ (x = 0 ∧ y = 0)
sind die kritischen Punkte
fxx = 24·x2 + 2
fyy = 12y2 - 4
fxy = 0
Determinante der Hessematrix \(\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}\) = fxx · fyy - fxy2
Für jeden der 3 erhaltenen stationären (kritisichen) Punkte prüfst du durch Einsetzen:
fxx • fyy - fxy2 > 0 → Extrempunkt
< 0 → Sattelpunkt
= 0 erfordert weitere Betrachtung
im Fall "Extremum" weiter:
fxx < 0 → Hochpunkt
> 0 → Tiefpunkt
= 0 kann nicht vorkommen
Gruß Wolfgang