Extremalstellen und Sattelpunkt der Funktion f (x,y) = 2x^4 + y^4 + x^2 - 2y^2

Question

Hallo liebe Mathelounger :D

Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter.

Ich habe

fxx(x,y) = 8x^3 - 2x

Und

fyy (x,y) = 4y^3 - 4y

gebildet und Null gesetzt. Dafür kam dann x=√1/4

Und y=√1 heraus.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Hi,

zur Bestimmung der stationären Punkte schaust Du Dir die erste Ableitung an (was Du wohl gemacht hast, aber falsche notiert hattest -> f_(x) und f_(x))

Deine stationäre Stellen sind allerdings nur dann richtig, wenn die Funktion lautet: f(x,y) = 2x^4+y^4-x^2-2y^2

Dann hast Du auch nur einen Teil der stationären Stellen benannt und nicht alle. Beispielsweise

x_(1,2) = ±1/√4 = ±1/2

y_(1,2) = ±1

Damit hast Du schon vier stationäre Punkte. Ebenfalls für x = 0 und/oder y = 0, sowie mit den oben genannten ergeben sich weitere.

Nun musst Du die zweite Ableitung bilden und in die Punkte in die Hessematrix einsetzen ;).

Grüße

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Vielen Dank :) Ja stimmt hihi Tippfehler bei der Aufgabe. Und bei den Ableitungen :D

Aber ich habe ja die zweite Ableitung gebildet und zwar

fxx = 24x^3 - 2

fyy = 12y^2 - 4

Wie kann ich das jetzt in die Hessematrix einsetzen?

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Ich meinte fxx = 24x^2 - 2

Answer 1

f(x,y) = 2·x⁴ + y⁴ + x² - 2·y²

f_x = 8·x³ + 2·x = 0         und   f_y = 4·y³ - 4·y = 0

↔   2x · (4x² + 1) = 0  und  4y · (y² -1) = 0

→   (x = 0 ∧ y = -1)  ∨  (x = 0 ∧ y = 1)  ∨  (x = 0 ∧ y = 0)

sind die kritischen Punkte

f_xx = 24·x² + 2

f_yy = 12y² - 4

f_xy = 0

Determinante der Hessematrix \(\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}\) = f_xx · f_yy - f_xy²

Für jeden der 3 erhaltenen stationären (kritisichen) Punkte prüfst du durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         < 0  → Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen lieben Dank Wolfgang!

Auf dich ist immer Verlass

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Nur habe ich mich tatsächlich vertippt und die eigentlich Aufgabe war:

f (x,y) = 2x^4 + y^4 - x^2 - 2y^2

Daraus erfolgen dann 9 stationäre Punkte oder? 

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9 stationäre Punkte ist dann richtig :-)

(Was den "Verlass" angeht: Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser. Also immer nachrechnen!)

Answer 2

$$ f_{yy} (x,y) = 4y^3 - 4y  $$
$$ f_{yy} (x,y) =0 $$
$$ 0 = 4y^3 - 4y  $$
$$ 0 = y\cdot (4y^2 - 4)  $$
woraus zunächst folgt:
$$ y_1 = 0  $$
$$ 0 = 4y^2 - 4  $$
$$ y^2 =1 $$
$$ y_2 =+\sqrt1 $$
$$ y_3 =-\sqrt1 $$
und eiguggeda hamma drei Nullstellen!