Limes einer Funktion mit zwei Variablen berechnen

Question

Hi,

gegeben ist f(x, y) := (x + y)/ (x − y) für x ungleich y; 0 für x = y

a) Berechnen Sie lim_x→0 (lim_y→0 f(x, y)). 

b) Berechnen Sie lim_y→0 (lim_x→0 f(x, y)).

Was genau ist jetzt der Unterschied zwischen a) und b) und wie berechne ich das Ganze?

Answer 1

> Was genau ist jetzt der Unterschied zwischen a) und b)

Reihenfolge der Limesbildung.

a) lim_x→0 (lim_y→0 f(x, y))

  = lim_x→0 (lim_y→0 (x+y)/(x-y))

  = lim_x→0 (x/x)

  = 1

b) lim_y→0 (lim_x→0 f(x, y))

  = lim_y→0 (lim_x→0 (x+y)/(x-y))

  = lim_y→0 (y/(-y))

  = -lim_y→0 (y/y)

  = -1

Comments

Könntest du mir vielleicht auch noch sagen wie man herausfindet, ob die Ist die Funktion an der Stelle (0, 0) stetig ist?

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Prüfe ob an der Stelle (0, 0) der Grenzwert gleich dem Funktionswert ist.

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Der Funktionswert ist ja 0, aber ich weiß gerade nicht, welchen Grenzwert du meinst, weil es ja, wie bei a) und b) schon beschrieben zwei gibt.

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> ... welchen Grenzwert du meinst, weil es ja ... zwei gibt.

Ich meinen den dritten, nämlich den Grenzwert der Funktion.

Zur Erinnerung, für den gilt

    lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = L :⇔ ∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ (x,y) ∈ D_f\{(x₀,y₀)} |(x,y)-(x₀,y₀)|<δ ⇒ |f(x,y) - L| < ε.

Dafür ist lim_x→x0 (lim_y→y0 f(x,y)) = lim_y→y0 (lim_x→x0 f(x,y)) = L notwendig, aber nicht hinreichend.

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Achso, also wird es erst hinreichend, wenn lim_y→y0 (lim_x→x0 f(x,y)) = 0 ist, weil 0 ja der Funktionswert ist.Und mit  y₀ und x₀  ist in dem Fall 0 gemeint, oder?

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Allgemein, wenn lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = L gilt, dann gilt auch lim_x→x0 (lim_y→y0 f(x,y)) = lim_y→y0 (lim_x→x0 f(x,y)) = L.

Konkret bei deiner Funktion ist lim_x→0 (lim_y→0 f(x,y)) ≠ lim_y→0 (lim_x→0 f(x,y)), also hat f bei (0,0) keinen Grenzwert.

Weil f bei (0,0) keinen Grenzwert hat, kann f bei (0,0) nicht stetig sein.

Es gibt Fälle, in denen lim_x→x0 (lim_y→y0 f(x,y)) = lim_y→y0 (lim_x→x0 f(x,y)) = L ist, aber lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) nicht existiert.

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Ahh stimmt, danke! Aber mir ist gerade noch etwas aufgefallen. Bei der ersten Aufgabe haben wir ja nur den Limes von f(x,y)= (x+y)/(x-y) berechnet aber nicht den von f(x,y) = 0 (für x=y). Kann es bei dem Limes nicht dazu kommen, dass x=y oder wieso hast du den da weggelassen?

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x=y beschreibt eine Gerade die im Winkel von 45° durch den Ursprung verläuft.

Bei dem Grenzwertübergang x→0, der für die Berechnung von lim_x→0 f(x,y) gemacht wird, ist y noch konstant. Die Gerade wird also irgendwann überschritten und ist dann nicht mehr relevant.

Erst beim anschließenden Grenzwertübergang y→0 wird auch y variiert. Aber zu dem Zeitpunkt ist x=0, so dass man erst wieder für y=0 auf die Gerade trifft. Aber da ist der Grenzwertübergang bereits abgeschlossen.