Ansatz unbestimmtes Integral von 1/(R^2 + x^2)^{1.5}

Question

Kann mir jemand einen Ansatz nennen um dieses Integral zu lösen?

$$ \int \frac { 1 } { \left( R ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } d x $$

Answer 1

∫ 1/(r^2 + x^2)^{3/2} dx

Substitution
x = r·tan(u) = r·sin(u)/cos(u)
dx = r/cos(u)^2 du

= ∫ 1/(r^2 + (r·sin(u)/cos(u))^2)^{3/2}·r/cos(u)^2 du
= ∫ 1/(r^2 + r^2·sin(u)^2/cos(u)^2)^{3/2}·r/cos(u)^2 du
= ∫ 1/(r^2·(1 + sin(u)^2/cos(u)^2))^{3/2}·r/cos(u)^2 du
= ∫ 1/(r^2·(cos(u)^2/cos(u)^2 + sin(u)^2/cos(u)^2))^{3/2}·r/cos(u)^2 du
= ∫ 1/(r^2·((cos(u)^2 + sin(u)^2)/cos(u)^2))^{3/2}·r/cos(u)^2 du
= ∫ 1/(r^2·(1/cos(u)^2))^{3/2}·r/cos(u)^2 du
= ∫ 1/(r^3·1/cos(u)^3)·r/cos(u)^2 du
= ∫ cos(u)^3/r^3·r/cos(u)^2 du
= ∫ cos(u)/r^2 du
= sin(u)/r^2

Resubstitution
x = r·tan(u)
u = arctan(x/r)

= sin(arctan(x/r))/r^2   | Anmerkung: sin(arctan(x)) = x/√(x^2 + 1)
= (x/r)/√((x/r)^2 + 1)/r^2
= x/(r^3√(x^2/r^2 + 1))
= x/(r^2√(x^2 + r^2))

 

Comments

Vielen Dank, nun kann ichs nachvollziehen....aber wie kommt man denn auf die Idee x mit r·tan(u) zu substituieren?

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So etwas kann man eigentlich nur wissen, wenn man einen großen Erfahrungswert im Umgang mit Integralen hat. 

Aber dir sollte schon bewusst sein, dass man die Form der Integrale eigentlich immer mit den trigonometrischen Funktionen über Substitution angeht.

Ich überlege mir meist was für Möglichkeiten ich habe und was für ähnliche Funktionen ich kenne, die ich schon mal behandelt habe. 

Am Ende kann man es auch einfach probieren und wenn das nicht klappt die nächste Möglichkeit nehmen. man kann auch mehrfach substituieren.

so hätte ich im ersten schritt auch mit r*u substituieren können

∫ 1/(r² + x²)^3/2 dx

Substitution x = r*u und dx = du

∫ 1/(r² + r^{2}*x^2)^3/2 dx
1/r^3 * ∫ 1/(1 + u^2)^3/2 du

Jetzt muss man sehen das man 1 + u^2 irgendwie zusammenbringt. weil sin^2 + cos^2 = 1 oder sin^2 = 1 - cos^2 kann ich hier schlecht nur durch sin oder cos substituieren. also bleibt hier die substitution über den tangens. Letztendlich kann man es aber auch gleich wie ich in einer substitution machen. 

Answer 2

Kann mir jemand einen Ansatz nennen um dieses Integral zu lösen?

Ich benutze dazu einfach die Formelsammlung:

$$ \int \frac { 1 } { \left( R ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } d x = \frac { x } { R ^ { 2 } \cdot \sqrt { R ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } + C $$

Außerdem füge ich den TeX-Code bei, wenn ich geTeXte Formeln hochlade, dadurch wird die Formel leichter weiter verwendbar, etwa beim Antworten.

Sagt Dir lineare Substitution was?

Comments

Sorry wegen dem fehlenden Textcode, schreibe zum ersten mal hier. Formelsammlung habe ich bemüht, lineare Substitution sagt mir was, allerdings scheitere ich am x²...

Die Lösung habe ich bereits dank Taschenrechner, allerdings würde ich gern den Lösungsweg nachvollziehen.