Differentialgleichung 3. Ordnung. y'''=6y''-12y'+8y

Question

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Ich habe ein Problem mit einer DGL 3. Ordnung . Und zwar y'''=6y''-12y'+8y , Mein Problem ist mit bei meinem ersten Ansatz e^lamda*t kommt raus , dass lamda 1,2.und 3 = 2 ist . Und wenn ich dann als zweiten Ansatz t^a * e^2t nehme . Komme ich auf keine Lösung.

Kann mir wohl jemand weiter helfen ?

Gruß Fachus

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Vielleicht hilft dir schon die Lösung von Wolframalpha auf den Ansatz zu kommen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27%3D6y%27%27-12y%27%2…

Answer 1

bei  y= e^k*t kommt raus y '  = k* e^k*t    y '' = k²* e^k*t     y ''' = k³ * e^k*t

Einsetzen gibt   k³ * e^k*t =  6 k²* e^k*t     -12 k* ek*t    +8 e^k*t  

  k³  =  6 k²     -12 k*  +  8  

also k=2 und es passt.

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Ja genau das habe ich ja auch raus gehabt , aber wenn mich nicht alles täuscht hat unser Prof gesagt dass wir 3 unterschiedliche k brauchen da die Lösungen sonst linear abhängig wären ...

Sprich wir sollten jetzt noch den Ansatz nehmen t^a * e^2t

Answer 2

die charakt. Gleichung lautet:

k³ -6 k²+12 k-8=0

(k-2)³=0

k_1.2.3=2

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Ok, aber das steht schon im Eröffnungsbeitrag!         

Answer 3

das charakteristische Polynom liefert die dreifache Nullstelle λ=2.

Deshalb musst du noch vor dem e^2t jeweils mit t², t¹ und t⁰ multiplizieren und diese dann aufsummieren um die Lösungen linear unabhängig zu machen.

Allgemein gilt bei k-fachen Nullstellen im charakteristischen Polynom:

y(t)=∑i=0 bis k-1 tⁱ*e^λ*t