Zeigen Sie, dass Folgendes gilt für k>=2: ∑^k_(n=2) 2 / (n^2-1) = 1 + 1/2 - 1/k - 1/(k+1)

Question

Hi,

Ich muss zeigen, dass folgendes für k≥2 gilt:

∑^k_n=2 2 / (n²-1) = 1 + 1/2 - 1/k - 1/(k+1)

Das soll ich mit VI zeigen oder? Die IA stimmt - es ist 2/3 = 2/3 für k=2. Was kommt als nächstes?

Comments

Hallo. Ist das nicht eine Teleskopsumme wie z.B. hier https://www.mathelounge.de/307816/reihe-mit-a_-k-1-k-1-k-3-konvergiert-wert-bestimmen ?

Mache eine Partialbruchzerlegung von

2/((n+1)(n-1) )

Das ginge vermutlich schneller als ein Beweis mit vollständiger Induktion.

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Ja, vielleicht ist es eine Teleskopsumme, aber ich weiss nicht genau was ich machen sollte.. ;/

Answer 1

wenn es unbedingt Induktion sein muss, gehtnat. auch:

∑^k+1_n=2 2 / (n²-1) =    2/  ( (k+1)^2 - 1 )  + ∑^k_n=2 2 / (n²-1)

=   2/  ( (k+1)^2 - 1 ) + 1 + 1/2 - 1/k - 1/(k+1)

= 1 + 1/2  - 1/(k+1)   - 1/k + 2/  ( (k+1)^2 - 1 )

= 1 + 1/2  - 1/(k+1)   - 1/k + 2/  ( (k^2 +2k )

= 1 + 1/2  - 1/(k+1)   - (k+2) /k(k+2)   + 2/  ( (k^2 +2k )

= 1 + 1/2  - 1/(k+1)  + 2/  ( (k^2 +2k )     - (k+2) /k(k+2)

= 1 + 1/2  - 1/(k+1)  + (2 - k - 2)   /   (k^2 +2k )  

= 1 + 1/2  - 1/(k+1)   - k  /   (k^2 +2k )

= 1 + 1/2  - 1/(k+1)   - 1  /   (k +2 )   passt also !

Comments

Wow... Vielen Dank mathef :)

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Hi, noch eine Frage :( also geht es schneller mit Partialbruchzerlegung z.B? Soll ich die QK anwenden?

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mit Partialbruchzerleg:

2 / (n^2 -1 ) = 1/(n-1) - 1/(n+1)

wird die Summe zu einer Telespopsumme

∑^k_n=2 2 / (n²-1)

= ∑^k_n=2      1/(n-1) - 1/(n+1)

daraus 2 Summen machen

=∑^k_n=2      1/(n-1)    -   ∑^k_n=2   1/(n+1)

und wenn man sich das etwas vorstellt:

1/1  +  1/2   +  1/3   +  1/ 4 + ...  1/ (k-1)   -  (   1/3 + 1/4 + 1/5 + ... +1/(k-1)+ 1/k + 1/(k+1)   )

= 1/1  +  1/2   +  1/3   +  1/ 4 + ...  1/ (k-1)   -     1/3 -  1/4 - 1/5 - ...  -1/(k-1) - 1/k  - 1/(k+1)  

Bleiben also nur die roten übrig.