Grenzwerte L'Hospital und Ableitungen: (sin(x)-sin(5))/(x-5)

Question

folgende Aufgabe:

Berechnen Sie, falls existent, die folgenden Grenzwerte:

(a) lim(x->5)         (sin(x)-sin(5))/(x-5)

Wenn ich nun annehme das x gegen 5 geht steht in der Gleichung ja quasi 0/0 und ich darf die Regel von L'Hopital anwenden oder? Ich tue mich allerdings mit der Ableitung schwer und habe Probleme mit der Quotientenregel (die ich hier ja brauche oder?). Könnte mir jemand behilflich sein?

Liebe Grüße

Björn

Comments

Ich habe die Klammern um den Nenner nun ergänzt, damit Unknowns Antwort zur Frage passt.

Answer 1

Hi Björn.

Ja, Du kannst l'Hospital verwenden. Aber für was brauchst Du die Quotientenregel?
Du tust je Zähler und Nenner ganz für sich ableiten!

lim_x->5 (sin(x)-sin(5))/(x-5) = "0/0" = lim_x->5 cos(x)/1 = cos(5)

 

Grüße

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Hi, die Frage hatten wir erst kürzlich in einem anderen Thread. Man kann, hier wie dort, wie ich finde, die Regel von l'Hospital anwenden. Es wurde dort aber kritisiert, dass dies nicht sehr sinnvoll sei, da hier der Grenzwert genau des Differenzenquotienten bestimmt werden soll, dessen Existenz wir bei Anwendung der Regel von l'Hospital bereits voraussetzen müssen, sodass wir auch gleich das Ergebnis cos(5) hätten hinschreiben können.

Interessanter ist nun die Frage, wie wir ohne cos als Ableitung des sin vorauszusetzen, die Aufgabe lösen können.

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Ich wusste nicht, dass ich das einfach so beides für sich ableiten kann. Heißt das dann, dass cos(5) quasi die Lösung der Aufgabe ist? Das die Ableitung vom sinus cosinus ist habe ich verstanden aber wieso wird aus (sin(x)-sin(5)) nur cos(x)?

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@Anonym. Gib doch bitte den Link zur andern Frage an. Es bringt nichts, wenn wir das an  dieser Stelle auch noch diskutieren.

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Ich habe den Link nicht parat und diskutiert wurde dort diesbezüglich eigentlich nichts, sondern nur angemerkt, dass hier der Grenzwert eines Differenzenquotienten bestimmt werden soll.