2 Beweise zu linearer algebra

Question

hallo zusammen,

ich habe 2 beweise zu führen und komme einfach nicht vorwärts:

1) A∈ℝ^m,n und b∈ℝ^m. Zeigen Sie, dass dann gilt: ∃x∈ℝⁿ mit Ax=b-> es existiert kein y∈ℝ^m mit A^Ty=0 und bTy≠0.

2)A∈ℝ^n,n und n ungerade. Zeigen Sie: Gilt A=-A^T, so hat das lineare Gleichungssystem Ax=0 eine nicht triviale Lösung x≠0.

Bei 1) verstehe ich das so: Ax=b ist lösbar (für jede Spalte 1 Element,d.h. jedes x=...) aber was daraus gefolgert werden soll, verstehe ich nicht so ganz

Bei 2) hab ichs durch ausprobieren gesehen, dass das funktioniert, doch wie kann man das allgemein zeigen?

Hat vielleicht jemand eine Idee?

Liebe Grüße

Answer 1

zu 2 reicht doch zu zeigen det(A)=0 , dann hat das Gleichungssystem Ax=0 eine nicht triviale Lösung x≠0.

Und wegen A=-A^T

gilt det ( A) = det ( - A^T ) = (-1) ^n * det  ( A^T ) =  (-1) ^n * det  ( A)

also   det ( A) ⁼  (-1) ^n * det  ( A)   und wegen n ungerade

           det ( A) ⁼   - det  ( A) 

also det(A) = 0