Darf ich einen Beweis mit Polynomdivision führen?

Question

Ich versuche mich grade spaßeshalber an der Vollständigen Induktion und wollte $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ (2k-1)²=\frac { (2n-1)2n(2n+1) }{ 6 }  } $$ beweisen.

Nun bin ich bei dem Induktionsschritt, kurz vor dem Ende und wollte wissen, ob ich den letzten Schritt mit der Polynomdivision lösen kann:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ (2n+1)²= } \frac { (2n+1) }{ 6 } \cdot \frac { (4n²+10n+6):(2n+2) }{ 6 } =\frac { (2n+3) }{ 6 } \cdot \frac { (2n+1) }{ 6 }  $$

Da meine Hypothese: $$ \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ (2n+1)²=\frac { (2n+1)(2n+2)(2n+3) }{ 6 }  } $$ ist habe ich den 2. Faktor genommen und damit die Polynomdivision mit meinem Term durchgeführt.

Ich hoffe, ich konnte meine Frage verständlich rüberbringen und freue mich schon auf eure Antworten. :)

PS: Ich wüsste sonst nicht, wie ich die Faktoren aus dem Term ziehen könnte, aber vielleicht habt ihr ja noch andere Ideen :)

LG David

Answer 1

Hi,

ich habe es nicht ganz 100% verstanden, was Du gemacht hast.

Wenn Du aber letztlich stehen hattest:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ (2n+1)²= } \frac { (2n+1) }{ 6 } \cdot \frac { (4n²+10n+6) }{ 6 } $$

So kannst Du doch eine Nebenrechnung machen: (4n²+10n+6)/(2n+2) = (2n+3) und damit (4n²+10n+6) = (2n+2)*(2n+3) und Du bist bei der gewünschten Lösung.

Also im Prinzip ist Deine Idee richtig. Polynomdivision zur Faktorisierung ist richtig, aber Du solltest es wie oben dargestellt hinschreiben, denn dann ist offensichtlich, dass die vollständige Induktion von Erfolg gekrönt war :).

Grüße

Comments

Danke für deine Antwort!

Ich habe es in meinem Beweis genau so gemacht: $$\frac { (2n+1)(4n²+10n+6):(2n+2) }{ 6 } =\frac { (2n+1)(2n+3) }{ 6 } $$ Dabei habe ich (2n+2) als Divisor aus meiner Hypothese genommen.

Dann habe ich die Terme wieder zusammengeführt so, dass sich dann meine Hypothese bestätigt:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ (2n+1)²=\frac { (2n+1)(2n+2)(2n+3) }{ 6 }  } $$

Grüße

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Sehr gut :).

Und gerne.

Answer 2

Ja. Das darfst du. Ich hätte das aber wie folgt gelöst

∑ (i = 1 bis n) (2·n - 1)^2 = n·(2·n - 1)·(2·n + 1)/3

Induktionsanfang: n = 1

∑ (i = 1 bis 1) (2·n - 1)^2 = n·(2·n - 1)·(2·n + 1)/3

(2·1 - 1)^2 = 1·(2·1 - 1)·(2·1 + 1)/3

1 = 1

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (i = 1 bis n + 1) (2·n - 1)^2 = (n + 1)·(2·(n + 1) - 1)·(2·(n + 1) + 1)/3

∑ (i = 1 bis n) (2·n - 1)^2 + (2·(n + 1) - 1)^2 = (n + 1)·(2·n + 1)·(2·n + 3)/3

n·(2·n - 1)·(2·n + 1)/3 + (2·n + 1)^2 = (n + 1)·(2·n + 1)·(2·n + 3)/3

n·(2·n - 1)/3 + (2·n + 1) = (n + 1)·(2·n + 3)/3

n·(2·n - 1) + 3·(2·n + 1) = (n + 1)·(2·n + 3)

2·n^2 - n + 6·n + 3 = 2·n^2 + 5·n + 3

2·n^2 + 5·n + 3 = 2·n^2 + 5·n + 3

wzzw.

Comments

danke für deine antwort!

Ich hatte in meiner Aufgabe:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ (2n-1)²= } \frac { (2n-1)2n(2n+1) }{ 6 } $$ Als Vorgabe gegeben.

Deswegen wollte ich es so lösen, bin noch nicht so in der Materie :)

Wie gesagt, ist nur aus Spaß an der Freude ^^

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Wenn du mal schaust habe ich auch nur den Bruch der Vorgabe gekürzt, wie es in der Mathematik üblich ist.

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Oh, das ist mir nicht aufgefallen, allerdings finde ich es auch ein bisschen unübersichtlich ohne den Editor :) Danke dir, schau ich mir gleich mal genau an.

Grüße

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@Der_Mathecoach: Ich sitze gerade genau vor dieser Aufgabe, aber folgenden Schritt verstehe ich nicht:

n·(2·n - 1)·(2·n + 1)/3 + (2·n + 1)² = (n + 1)·(2·n + 1)·(2·n + 3)/3

Könnten Sie das mal genauer erklären und herleiten? Im Voraus besten Dank!

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n·(2·n - 1)·(2·n + 1)/3 + (2·n + 1)^2

= (2·n + 1)/3·(n·(2·n - 1) + 3·(2·n + 1))

= (2·n + 1)/3·(2·n^2 - n + 6·n + 3)

= (2·n + 1)/3·(2·n^2 + 5·n + 3)

Fektorisiere 2·n^2 + 5·n + 3 indem du Nullstellen ausrechnest

= (2·n + 1)/3·(n + 1)·(2·n + 3)

Nur Reihenfolge etwas ändern.

= (n + 1)·(2·n + 1)·(2·n + 3)/3