Hallo Mandy,
habe das mal in den Online-Rechner eingegeben und folgende Lösung erhalten:
Das Nennerpolynom wird in lineare und quadratische Faktoren faktorisiert:
3x2 + x - 2
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(x - 1)(x2 + 1)
Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt:
A
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x - 1 | + | Bx + C
————————
x2 + 1 |
Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:
A(x2+1) + (Bx+C)(x-1)
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x3 - x2 + x - 1
Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:
(A + B)x2 + (-B + C)x + (A - C)
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x3 - x2 + x - 1
Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:
Potenz
von x | | Ansatz
mit den
unbekannten
Koeffizienten | | gegebenes
Zähler-
polynom |
|
x2: | A + B | = | 3 |
x1: | - B + C | = | 1 |
x0: | A - C | = | -2 |
Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:
A = 1
B = 2 Lösung habe ich unten beigefügt
C = 3
Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:
3x2 + x - 2
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x3 - x2 + x - 1 | = | 1
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x - 1 | + | 2x + 3
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x2 + 1 |
Formularende
für das LGS erhalte ich:
A+B = 3 → B = 3-A , A-C = -2 → C = A+2
-B+C = 1 = -3+A + A +2 → 2 A = 2 → A = 1
→ B = 2 und C = 3
Gruß Wolfgang
