Liegt der Punkt C(3|-1|7) auf der Geraden durch A(3|-3|7) und B(3|3|7)?

Question

Ist meine Rechnung richtig ? Ich glaube ja nicht, weil wenn ich diese drei Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichne, kann ich sie mit einem Lineal verbinden. Also müssten sie auch auf der Geraden liegen.

Prüfen Sie, ob sich der Punkt C auf der Geraden befindet, die durch die Punkte A und B geht.

A(3|-3|7) B(3|3|7) C(3|-1|7)

Erstmal stelle ich die Gerade duch AB auf:

g: x = A(3|-3|7) + s * (0|6|0)

Dann

(3|-1|7) = A(3|-3|7) + s * (0|6|0)

3 = 3 + 0s   |  -3      
       
-1  =-3+6s |     +3                       
                                                                                                                                                          
 7    =7+0s   |    -7

0 = 0s     
 2=6s                     | :6 


 0 =0s

Wenn C auf der Gerade liegen würde, dann müsste doch s dreimal gleich sein, 
hier ist s aber 0s, 0,333...s, und 0s?

Comments

Also mit geht es konkret darum, ob nach dem ich die Gleichung nach

(3|-1|7) = A(3|-3|7) + s * (0|6|0)

umgestellt habe, noch herausfinden kann, ob sich nun der Punkt C(3|-1|7)
auf der Geraden befindet oder nicht.

Nach meinen Berechnungen nicht.

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s=1/3 sieht doch gut aus

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Und was mache ich dann mit s=1/3 ?

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Wenn es eine Lösung des Gleichungssystems (hier s=1/3) gibt, heißt dass C auf der Geraden liegt. Gäbe es keine Lösung, läge C nicht auf der Geraden. Der Wert s selbst ist nicht interessant (außer für weiterführende Aufgaben)

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Tipp: Du kannst die gegebenen Werte im Geoknecht 3D eingeben und erkennst dann schon mal visuell, ob der Punkt auf der Geraden liegt.

Answer 1

Da ich nicht genau erkenne, was du da rechnen wolltest, ein anderer Vorschlag.

A(3|-3|7) B(3|3|7) C(3|-1|7) 

Bestimme die Vektoren AB und BC. Wenn die beiden Vektoren parallel zueinander sind, liegen die Punkte auf einer Geraden. Sonst nicht.

Vektor AB = (0 | 6 | 0)

Vektor BC = (0 | -4 | 0)

Da AB = -1.5 BC, sind die beiden Vektoren parallel zueinander und die drei Punkte liegen auf einer Geraden. fertig.

Anschauliche Begründung:

Die Punkte A, B und C haben alle die gleiche x- und die gleiche z-Koordinate. 

Die Punkte liegen daher alle auf der Schnittmenge der beiden Ebenen x=3 und y=7.

Die Schnittmenge zweier Ebenen ist immer eine Gerade. 

nochmals. fertig. 

Comments

Jetzt macht für mich zumindest der letzte Teil deiner Frage Sinn.

"Wenn C auf der Gerade liegen würde, dann müsste doch s dreimal gleich sein, hier ist s aber 0s, 0,333...s, und 0s ."

Du hast eine einzige Gleichung gefunden, mit der du s berechnen kannst.

2=6s    |:6

1/3 = s.

Die übrigen Gleichungen. 0 = 0*s sind ja immer erfüllt. Egal, welche Zahl man für s einsetzt, kommt immer Null raus, wenn man mit 0 multipliziert. 

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Achso weil ich habe gelernt, das zum Schluss immer 3 mal das gleiche Ergebis herauskommen muss, damit sich der Punkt auf der Geraden befindet zum Beispiel:

2=6s    |:6                = 1/3s
1=3s    |:3               = 1/3s
4=12s    |:12          = 1/3s

weil 3 mal = 1/3s , liegt der Punkt auf der Geraden, wenn aber:

2=0s    |                   = 0s
1=3s    |:3                = 1/3s
4=0s    |                    = 0s

Dann liegt der Punkt auch auf der Geraden, oder?

Nur wenn es zum Schluss heißen würde:

2=0s    |                   = 0s
1=3s    |:3                = 1/3s
4=2s    |:2                    = 2s

Dann würde der Punkt nicht auf der Geraden liegen.

Jetzt richtig verstanden ?

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Achso weil ich habe gelernt, das zum Schluss immer s 3 x das gleiche Ergebis haben muss damit sicher Punkt auf der Geraden befindet zum Beispiel:

2=6s    |:6                =>  1/3 = s 
1=3s    |:3               =>  1/3 = s 
4=12s    |:12                =>  1/3 = s

wenn aber:

Du musst die Gleichungen nach s AUFLÖSEN. 

2=0s    | :0 ist nicht erlaubt.  Gleichung dir, dass es kein solches s geben kann. 

        
1=3s    |:3                =>  1/3 = s 

4=0s    | :0     Wie bei der ersten Gleichung. 

Dann liegt der Punkt auch auf der Geraden, oder? Nein. Dann geht es nicht. Die DREI Punkte liegen nicht auf einer Geraden. 

" Nur wenn es zum Schluss heißen würde: 

2=0s    |                   = 0s 
1=3s    |:3                = 1/3s 
4=2s    |:2                    = 2s  " 

Dann würde der Punkt nicht auf der Geraden liegen. 

Auch wieder: Nein zu so einer Rechnung. Du bringst Multiplikation mit 0 und Division durch 0 durcheinander. Du muss unbedingt jede der Gleichungen korrekt nach s auflösen. D.h. s am Schluss allein auf einer Seite der Gleichung haben. 

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Ok, vielen Dank für die Zeit die du dir nimmst.

Also: Prüfen Sie, ob sich der Punkt C auf der Geraden befindet, die durch die Punkte A und B geht.

A(3|-3|7) B(3|3|7) C(3|-1|7)

Ich habe mich an diesem Youtube Video orientiert und wollte es ähnlich machen. https://www.youtube.com/watch?v=AU6WSLB73ok

Erstmal Vektor AB = (0 | 6 | 0) aufstellen, dann die gerade aufstellen,

g: x = A(3|-3|7) + s * (0|6|0)

Dann denn Punkt C an die Gerade anhängen:

(3|-1|7) = A(3|-3|7) + s * (0|6|0)

 3  = 3 +0s | -3

-1 = -3+6s | +3

7  = 7 +0s  | -7

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0=0s    |                  = 0s 
2=6s    | :6             = 1/3s 
0=0s    |                   = 0s 

Ist damit jetzt schon bewiesen, dass der Punkt C auf der Geraden liegt ?

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Du darfst Pfeile und Gleichheitszeichen nicht mischen. Vgl. Titelbild deines Videos. 

0=0s    |                  => 0 =  0   . Rechts 0. Weil 0*s immer 0
2=6s    | :6             =>  1/3 = s  
0=0s    |                   =>  0= 0   . Wie ganz oben.

s = 1/3   fertig. 

C liegt auf der Geraden (AB). 

Mache ruhig die Probe mit s=1/3.

 x = A(3|-3|7) + 1/3 * (0|6|0) 

 x = A(3|-3|7) +  (0|2|0) 

x = ( 3+ 0 | -3+2 | 7+0) = ( 3 | -1 | 7) 

Das sind tatsächlich die Koordinaten des Punktes C. Passt. 

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Danke, jetzt habe ich es verstanden !

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Bitte. Freut mich.

Versuche dir das Ganze unbedingt auch geometrisch vorzustellen und aufzuzeichnen, damit du dir Rechenwege etwas länger als eine Nacht merken kannst.

Answer 2

Prüfen Sie, ob sich der Punkt C auf der Geraden befindet, die durch die Punkte A und B geht.

A( 3 | -3 | 7 )   B( 3 | +3 | 7 )   C( 3 | -1 | 7 )

Sicher kann man sich mit der Aufgabe viel Mühe geben und das kann sich auch lohnen. Man kann die Aufgabe auch in eine einfachere und leichter zu bearbeitende Gestalt übersetzen:

Liegt -1 zwischen -3 und +3?

Comments

Hallo az0815:

" Liegt -1 zwischen -3 und +3? " Ist eine schöne Idee.

Wäre zu prüfen, wenn die Frage wäre: 

"Prüfen Sie, ob sich der Punkt C auf der Strecke AB befindet. "

Eine Gerade hat definitionsgemäss keine Endpunkte. 

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Hallo Lu!

Es ist zutreffend, dass die von mir übersetzte Formulierung der Frage nicht mehr äquivalent zur ursprünglichen Formulierung ist. Das habe ich in meiner Antwort nicht deutlich gemacht. Gleichwohl ist man fertig, falls sie sich mit "ja" beantworten lässt.

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A( 3 | -3 | 7 )   B( 3 | +3 | 7 )   C( 3 | -1 | 7 )

Anhand der Übereinstimmungen der blau markierten Koordinaten lässt sich auch leicht einsehen, dass alle drei Punkte auf einer Geraden liegen müssen. Eine mögliche und naheliegende Darstellung dieser Geraden in Parameterform wäre:$$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0\\7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $$Die drei Parameterwerte, die die Punkte A, B und C liefern, sind in dieser Darstellung offensichtlich.

Answer 3

  Sieht man doch sofort ( Antwort ja ) x-und z-Koordinate bleiben konstant, wenn du die drei Punkte miteinander vergleichst. Und y ( C ) liegt in dem Intervall zwischen y ( A ) und y ( B )