Ableitung und kritischen Punkt

Question

Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 − exp(−x) ln(x + 1) für  x > 0. 

(a) Berechnen Sie f ′ (x).

(b) Hat f(x) mindestens einen kritischen Punkt (d.h. f ′ (x) = 0) für  x > 0? Der Wert des kritischen Punktes, falls er existiert, ist nicht gefragt!

Answer 1

Hi,

a) Produktregel

f'(x) = e^{-x}*ln(x+1) - e^{-x}/(x+1)

b)

e^{-x}*ln(x+1) - e^{-x}/(x+1) = 0     |*(x+1)

e^{-x}*ln(x+1)(x+1) - e^{-x} = 0      |:e^{-x}

ln(x+1)(x+1) - 1 = 0                       

Ja, es existiert min ein kritischer Punkt. Kann näherungsweise mit Newtonverfahren bestimmt werden.

Wenn mans hier nicht sieht kann mans mit Einsetzen sehen:

Für x_(1) = 0 --> f'(x_(1)) = -1

Für x_(2) = 1 --> f'(x_(2)) = 2ln(2) - 1 > 0

Die Funktion ist stetig, muss also die x-Achse zwischen x_(1) und x_(2) schneiden.

Grüße