Funktionsgleichung bestimmen, Funktion vierten Grades

Question

g ist eine Funktion 4. Grades und hat in O(0/0) und im Wendepunkt W(-2/2) Tangenten parallel zur x- Achse.

ich setze beide Punkte jeweils in die Grundform ein, dann den Wendepunkt in die zweite Ableitung und dann müüssten doch beide Punkte Extrempunkte sein, da die Tangente paralle zur x-Achse läuft, somit jeweils in die erste Ableitung. Soweit korrekt?

Wenn ja, komme ich auf

I 0 = e (O in Grundform)

II 2 = 16a - 8b + 4c -2d (W in Grundform)

III 0 = 24a - 12b +2c (zweite Ableitung; Wendepunkt)

IV 0 = d (O in erste Ableitung)

V 0 = -24a + 12b -4c (W in erste Ableitung)

Stimmt das so?

Answer 1

Hi,

Deine Erklärungen sind korrekt, musst Dich aber bei Deinen Ableitungen vertan haben. Es ist ja

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c

Erhalte damit:

f(0) = 0

f'(0) = 0

f(-2) = 2

f'(-2) = 0

f''(-2) = 0

Also:

e = 0

d = 0

16a - 8b + 4c - 2d + e = 2

-32a + 12b - 4c + d = 0

48a - 12b + 2c = 0

Damit klar?

Zur Kontrolle: f(x) = 3/8*x^4 + 2x^3 + 3x^2

Grüße

Answer 2

    Du denkst viel zu geradeaus - und das bringt nix. Wie oft habe ich euch gepredigt

  " Eine n-fache Nullstelle; n gerade, ist ein Extremum. Und für n > 1 ungerade ergibt sich ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) "

   Dein x = ( - 2 ) IST ein TP ; demnach eine 3-fache Nullstelle ( 5-fach geht ja nicht mehr. )
   Was wird man tun? Den Grafen um zwei Einheiten nach Unten verschieben, damit X1;2;3 = ( - 2 ) eine Nullstelle wird von


       F  (  x  )  :=  f  (  x  )  -  2        (  1a  )


    Ich wähle absichtlich " groß X " , weil es sich um die Nullstellen der Funktion " groß F " handelt. Dann aber muss F die Darstellung besitzen


     F  (  x  )  =  k  (  x  +  2  )  ³  (  x  -  X4  )      (  1b  )
    
       F  (  0  )  =  (  -  2  )  ;  f  '  (  0  )  =  0    (  1c  )


    Die beiden Unbekannten sind der Leitkoeffizient k so wie die Nullstelle X4 . Ich sags ja; wer in eine Schulaufgabe mehr wie zwei Unbeksnnte investiert, lebt verkehrt.
   Und dieses k werden wir auch noch los - mittels der Technik des ===> logaritmischen Differenzierens.


    ln  (  F  )  =  3  ln  (  x  +  2  )  +  ln  (  x  -  X4  )    (  2a  )


      f  '  (  x  )                        3                         1
 -----------------------   =  --------------   +    -----------           (  2b  )     
      F  (  x  )                      x + 2                    x  - X4


       


           f  '  (  0  )                    
     -----------------------    =  0  =  3/2  -  1 / X4  =====>  X4  =  2/3       (  2c  )
            F  (  0  )  


     F  (  x  )  =  k  (  x  +  2  )  ³  (  x  -  2/3  )          (  3a  )


      und für x = 0


            -  16/3  k  =  (  -  2  )   ===>   k  =  3/8       (  3b  )

       f  (  x  )  =  (  x  +  2  )  ³  (  3/8  x  -  1/4  )  +  2       (  3c  )

    =  3/8  x  ^  4  +  2  x  ³  +  3  x  ²        (  3d  )


    Siehe Wolfram; die ganzen Klammern hab ich mir denn doch nocht angetan.