Grenzwert berechnen lim x-> pi cot(x)/cot(4x)

Question

Wie rechne ich folgenden Grenzwert aus?

 lim x-> pi   cot(x)/cot(4x)

Habe es erst umgestellt nach: lim x->pi  ((cos(x)*sin(4x))/(cos(4x)*sin(x))

Mit der Regel von L'Hospital komme ich da ja nicht weiter oder?

Wie muss ich da vorgehen?

Answer 1

     Eben darf ich antworten; er hat mich für Geist voll und würdig befunden.

  Komisch; er lässt mich nur kommentieren. Nicht antworten.

       ctg  (  x  )  tg  (  4  x  )   =      (   1  )

            cos ( x )                  sin ( 4 x )

     =  ---------------      *     --------------------   

            cos ( 4 x )                  sin ( x )

     Was ihr nicht könnt - unkritische Faktoren vorziehen. Der linke Bruch geht ganz regulär gegen Minus Eins. Und jetzt der rechte Bruch mit der Krankenhausregel

                                              4 cos ( 4 x )

     rechter Bruch = lim     -------------------------    =  (  -  4  )

                                             cos ( x )

Answer 2

das Limes Zeichen muß natürlich davor stehen:

Answer 3

lim x---> π cot(x)/cot(4x)

=lim x--> 0 cot(x)/cot(4x)

=lim x--->0 (tan(x))/tan(4x))^{-1}

Für x nahe 0 gilt:

tan(x)≈x 

tan(4x)≈4x

--->

lim x--->0 (tan(x))/tan(4x))^{-1}=

lim x--->0 (x/(4x))^{-1}

=lim x--->0     4=4